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Évaluation de performances des
réseaux
Participants : François Baccelli, Thomas Bonald, Dohy
Hong.
Mots clés : algèbre (max, +), exposant de Lyapounov, réseau de Pétri stochastique, contraction, non-expansivité, analyticité, relation de récurrence vectorielle, stabilité stochastique, courbe de service, réseau fluide, inf-convolution, opérateur de réflexion de Skorokhod, débit de saturation. .
Les exposants de Lyapounov sont les taux de croissance
linéaire asymptotiques des vecteurs d'états d'un système à
événements discrets stochastiques dont la dynamique est décrite
par une relation de récurrence vectorielle. Dans le cas
déterministe, ils coïncident avec la notion de vecteur de temps
de cycle. De manière générale, le calcul des exposants de
Lyapunov est une question difficile dans l'algèbre
conventionnelle. Dans notre article [[35]], nous donnons un
développement explicite de l'exposant de Lyapounov 
(p) d'une suite de matrices aléatoires i.i.d.
dans le semi-anneau (max, +), tirées selon un mécanisme de
Bernoulli dépendant d'un petit paramètre p. Une hypothèse
clef est que l'une des matrices possède un unique vecteur propre.
Cette hypothèse nous permet d'utiliser une représentation de
(p)comme la moyenne d'une
variable aléatoire, puis un analogue discret des méthodes de
perturbations pour obtenir ce développement. Nous proposons
plusieurs extensions, notamment au cas multinomial et au cas
d'itérées d'opérateurs aléatoires non-expansifs. La connaissance
des coefficients du développement nous permet aussi d'évaluer une
borne inférieure du rayon de convergence. Dans [[35]], nous montrons comment
utiliser ces techniques sur plusieurs exemples, dont des réseaux
avec contrôle de fenêtre.
Dans [BH98], nous nous intéressons à l'analyticité du comportement asymptotique d'une classe de systèmes dynamiques définis par itération d'opérateurs aléatoires non-expansifs, incluant le cas des exposants de Lyapounov. Il s'agit d'étudier la dépendance analytique par rapport aux paramètres qui gouvernent la loi des opérateurs aléatoires. Les propriétés de contraction par rapport à certaines semi-normes projectives sont utilisées pour aborder ce problème. Pour les exposants de Lyapounov dans (max, +), cette approche donne une meilleure approximation du domaine d'analyticité. Mais elle permet aussi d'étudier les exposants de Lyapounov dans l'algèbre conventionnelle ou encore ceux associés aux systèmes dynamiques non-linéaires qui apparaissent dans les problèmes de contrôle stochastique. Pour la classe des opérateurs réductibles, nous obtenons des résultats sur l'analyticité de l'espérance de fonctionnelles du comportement limite en fonction des paramètres de la loi : dans ce cas la contraction est établie par rapport à la norme infinie. Nous donnons plusieurs applications sur l'analyticité du temps de réponse stationnaire dans certaines files d'attentes en fonction de l'intensité du processus d'arrivée et des paramètres de la loi du service.
Dans [BB98], F. Baccelli et T. Bonald montrent que l'efficacité du contrôle de flux à fenêtre (utilisé par le protocole TCP sur le réseau Internet), dépend fortement des caractéristiques statistiques des flux transverses. L'approche consiste à étudier la stabilité d'un modèle où chaque file d'attente FIFO, représentant l'un des routeurs traversés par les paquets de la connexion contrôlée, reçoit un flux transverse stationnaire et ergodique. Nous montrons que la connexion contrôlée admet un débit maximal, qui est une fonction non-monotone, non-convexe et non-continue de l'intensité des flux transverses. De plus, nous donnons une borne supérieure et une borne inférieure sur ce débit maximal, qui sont atteintes par des changements d'échelle en temps et en espace des flux transverses. Ainsi, l'efficacité du contrôle de flux à fenêtre est maximale pour des flux transverses fluides, et minimale pour des flux transverses fortement variables.
En collaboration avec R. Agrawal (Université du Wisconsin) et R. Rajan (IBM), F. Baccelli a introduit dans [[34]] un modèle de réseau permettant de représenter les variations aléatoires de la capacité de service offerte à un flux de trafic donné, résultant de la présence d'autres flux dans ce réseau.
Le modèle est d'abord décrit dans le cas d'une seule file d'attente. Nous montrons ensuite comment interconnecter de telles files au moyen d'opérations de synchronisation. Les réseaux ainsi obtenus peuvent être vus comme des généralisations des graphes d'événements stochastiques ou de certaines classes de réseaux synchronisés. Les processus de départ vérifient un système d'équations qui est une généralisation inhomogène des systèmes d'équations (min, +) linéaires classiques.
Nous donnons une représentation explicite de ces processus de départ comme fonctionnelles des processus de service et des processus d'arrivée exogènes, ainsi que des conditions pour que ces processus soient définis de manière unique. Nous étudions aussi les phénomènes d'interblocage et d'explosion, ainsi que les conditions de stabilité, sous des hypothèses de stationnarité et d'ergodicité. Dans ce but, nous établissons une loi forte des grands nombres pour les processus de départ, et des relations entre les débits asymptotiques des diverses files, les débits des sources et ceux du réseau saturé. Nous en déduisons en particulier une représentation du processus de congestion et des conditions pour que ce processus converge vers une limite finie.
Cette classe de réseaux permet un étude détaillée du contrôle de session dans les réseaux à intégration de services. Nous montrons aussi que le modèle proposé fournit un cadre algébrique qui contient plusieurs classes de réseaux étudiées dans le passé, dont les graphes d'événements, certaines classes de réseaux synchronisés ou encore les réseaux de stations définies par des courbes de service. La structure algébrique en question est un semi anneau de fonctions de deux variables réelles, où l'addition est le minimum terme à terme, et le produit une généralisation de l'inf-convolution.