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Simulation numérique
du couplage fluide-structure
Participants : Anca Ferent, Patrick Le Tallec, Marina
Vidrascu.
Mots clés : algorithme numérique, décomposition de domaines, méthode numérique, programmation parallèle, élasticité non-linéaire .
Dans le cadre de l'action coopérative ``Modélisation d'organes'', un modèle numérique précis de déformation du foie a été étudié. Le foie est ici considéré comme un matériau hyperélastique incompressible. Le but de cette étude est de comparer les résultats à ceux obtenus avec un modèle linéaire (voir 8.1.1). Pour mettre au point les modèles, un maillage de taille moyenne contenant 6342 éléments et 9741 noeuds (29223 degrés de liberté) est utilisé. A priori, la taille de ce problème ne requiert pas l'utilisation d'une méthode de décomposition de domaines mais une méthode de Newton standard demande environ 8h de CPU par iteration sur une station de travail HP9000. Ce résultat nous pousse à utiliser l'algorithme de Newton avec décomposition de domaines. Dans ce cas le domaine a été décomposé en 20 sous-domaines et le temps CPU passe à environ 10 minutes par itération sur un réseau de stations de travail HP (non-dédié, temps CPU indicatifs). L'utilisation d'une méthode de décomposition de domaines permet de façon évidente un gain de temps important, mais elle est aussi très robuste ce qui apparaît par comparaison avec différents algorithmes classiques de résolution de systèmes linéaires sur ce problème. La factorisation de Cholesky donne de bons résultats mais la taille mémoire et le temps de calcul sont trop importants. Les méthodes de gradient conjugué préconditionné (Cholesky ou Crout incomplet avec ou sans remplissage) ne marchent pas dans ce cas à cause du mauvais conditionnement de la matrice. La matrice n'est pas une M-matrice, donc la convergence des méthodes de gradient conjugué n'est pas garantie.
L'objectif est ici de construire des outils pour pouvoir résoudre des problèmes tridimensionnels d'advection-diffusion de grande taille rencontrés en mécanique des fluides dans l'industrie. Deux éléments finis, un héxaèdre et un tétraèdre de degré deux, utilisant des techniques de stabilisation ont été développés pour pouvoir résoudre de façon précise les problèmes locaux sur des géométries tridimensionnelles complexes. Une technique de décomposition de domaines proposée par Achdou et Nataf, voisine de celles déjà bien validées en élasticité tridimensionnelle a été étudiée. Il s'agit d'une variante de l'algorithme de Neumann-Neumann generalisé appliqué au complément de Schur obtenu pour les équations d'advection-diffusion. Dans ce cas, pour la résolution des problèmes locaux, les conditions aux limites de type Neumann seront remplacées par des conditions de Robin bien adaptées au caractère non-symétrique de l'opérateur.
Dans un premier temps nous avons étudié une méthode de résolution par décomposition de domaines avec un préconditionneur à un niveau (Robin-Robin et Neumann-Neumann). La convergence de la méthode, en fonction des différents paramètres comme le nombre de sous-domaines, le pas de discrétisation, le rapport d'aspect ou les coefficients de l'équation a été étudiée.
L'efficacité de ce préconditionneur dépend du nombre de
sous-domaines, ce qui conduit à introduire un espace grossier qui
contient toutes les fonctions ayant un ``mauvais comportement''
et à résoudre le problème sur l'espace complémentaire. Comme dans
le cas précédent, on s'intéresse à la stabilité en fonction des
différents critères. Dans certaines situations ce
préconditionneur améliore les résultats mais il doit être encore
amélioré.