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Chimie
moléculaire.
Une méthode numérique de détection des orbites périodiques instables sur l'attracteur d'un système dynamique non linéaire est proposée. Cette méthode utilise les même techniques que l'assimilation de données, ce qui simplifie son implantation aux modèles géophysiques. Cette méthode a été utilisée pour trouver numériquement quelques orbites périodiques du modèle barotrope de l'océan. On discute les particularités de la méthode et on la compare avec d'autres méthodes. La connaissance des orbites périodiques permet d'expliquer les caractéristiques, telles que la bimodalité des PDF (Probability Density Functions) de paramètres principaux. Les PDF sont reconstruites comme les moyennes des orbites périodiques avec des poids proportionnels à la période et inversement proportionnels à la somme des exposants de Lyapunov. La fraction du temps passé par la trajectoire dans un voisinage d'orbite périodique a été comparée avec les caractéristiques d'instabilité. Cette relation montre 93% de corrélation. La dimension de l'attracteur a été approximée comme la moyenne des dimensions locales dans les voisinages d'orbites périodiques [[18]].
Quelques orbites périodiques du modèle de Lorenz sont calculées explicitement. Le codage de ces orbites et l'application de la dynamique symbolique est utilisé pour leur identification afin de trouver tout l'ensemble fondamental des cycles. L'application de la théorie des expansion des cycles permet d'approcher les caractéristiques de l'attracteur qui sont difficiles à calculer directement [[34]].
Les théorèmes d'existence de l'attracteur de l'approximation dimension finie du modèle sont prouvés ainsi que la convergence de l'attracteur du modèle discretisé vers l'attracteur du modèle originale. Quelques propriétés de solution stationnaires du modèle sont examinés. La structure de l'attracteur est expliquée en partie par la séquence de bifurcations à laquelle le système est soumis par les variations des paramètres principaux. La particularité du système est l'existence de deux bassins "presque invariants" de l'attracteur chaotique avec des transitions très rares entre eux. Ceci est lié à l'apparence du couple de solutions stationnaires non symétriques dans le modèle avec le forçage symétrique [[11]]. Les maxima dans le spectre de l'énergie ont été étudies aussi. Ces maxima correspondent à la fréquence principale du solution périodique apparue dans la bifurcation de Hopf, ou aux fréquences du phénomène de Feigenbaum.
Ce travail représente une chaîne de recherche qui comprend les
aspects mathématiques de la solution du modèle, les techniques
numériques et les séries d'expériences physiques qui montrent
l'existence de la variabilité à grand terme dans le modèle de
l'océan global en équations primitives et coordonnées 
. Du point de vue de calcul, on essaie de construire
un modèle flexible qui permettra de faire les expériences stables
numériquement avec les petits coefficients de viscosité,
différents structures de maillage et différents lissages du
relief. Ce travail a été exposé à la 4e conférence du
projet 4 de l'Institut Lyapunov, un article est en préparation
[[31]].
Ce problème est lié au problème d'assimilation de données. On considère le modèle multicouche QG de l'océan et on suppose données deux solutions du modèle correspondant à deux données initiales. Supposons que les deux solutions de la couche supérieure coïncident pour tout temps. Peut-on en conclure que les deux solutions sont les mêmes pour toutes les couches ? Autrement dit, supposons que notre modèle est parfait et décrit la réalité. Connaissant le comportement de la surface de l'océan, peut-on en conclure le comportement de l'océan en entier ? Nous avons essayé deux directions de recherche. La première, en collaboration avec Michel Pierre, utilise des techniques classiques d'estimations a priori et donne des résultats intéressants. La seconde consiste en l'étude des degré de liberté déterminants [[5]]. Ce travail est réalisé avec I.D. Chueshov, de l'université de Kharkov, Ukraine.
Une caractéristique bien connue de la prédicibilité d'un
système non linéaire est les exposants de Lyapunov qui mesurent
la croissance de la perturbation en limite de temps infini. On
considère la généralisation des exposants de Lyapunov les
exposants locaux pour indiquer l'augmentation d'erreur
localement, pendant un temps fini. On a étudié les particularités
numériques de l'algorithme, telles que l'influence de la
variation de la résolution utilisée, le nombre de couches
considérées pour la discrétisation verticale du bassin, la
convergence des exposants de Lyapunov dans la limite
T 
, la
précision des différents schémas en temps, etc. La structure
géographique du mode le plus instable par rapport aux petites
perturbations est analysée. Les variations de ce mode sont
relativement faibles pour de faibles variations de
l'approximation numérique du problème, par contre elles sont
beaucoup plus sensibles aux variations de l'intervalle de temps
de prévision [[17]].
Une difficulté fondamentale dans la modélisation des systèmes turbulents, en particulier l'océan, est le développement de mouvements à une échelle plus petite que la résolution numérique accessible. Ces mouvements transportent les quantités dynamiques de façon complexe, se traduisant par des effets de diffusion turbulente pour les quantités moyennées à l'échelle de la grille numérique. La paramétrisation de ces effets est un des problèmes essentiels en modélisation océanique qui peut permettre de réduire la résolution nécessaire de grille. On construit la loi de diffusion en supposant que les flux turbulents doivent faire croître l'entropie à chaque instant, tout en conservant la vorticité potentielle et l'énergie. On suppose de plus que les flux diffusifs sont proportionnels aux gradients de concentration. Nous avons vérifié par différentes simulations numériques que, dans les conditions typiques de circulation océanique forcée par le vent, cette approche simplifiée donne des résultats pratiquement identiques à la formulation complète [[19]].