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Prédicibilité et
simulation numérique pour
Pour un modèle simplifié de pont roulant (câble flexible attaché à un chariot et transportant une masse) qu'on ne peut stabiliser uniformément par des feedbacks frontière classiques en vitesse [[6]], la stabilisation uniforme avec des feedbacks d'ordre plus élevé (on prend en compte la vitesse de rotation) avait été obtenue. Pour des feedbacks (en vitesse) dissipatifs mais non monotones, l'absence éventuelle de compacité forte empêche l'utilisation directe du principe de LaSalle. La stabilité forte ou faible a été obtenue en utilisant une technique d'invariants qui permet de se ramener au principe de La Salle en supposant seulement une monotonie locale [[12]][[41]]. Avec des feedbacks non linéaires monotones d'ordre plus élevé, des estimations (non uniformes) de la vitesse de décroissance sont obtenues (en fonction du comportement du feedback au voisinage de zéro). Enfin, l'analyse du modèle lorsque le câble est remplacé par une poutre encastrée ou articulée au chariot, avec feedback vitesse, a été faite. La stabilité forte est prouvée pour un feedback dissipatif, mais pas forcément monotone [[40]]. L'extension à des modèles plus complexes de pont roulant (câble de longueur variable, déplacement du système en trois dimensions) est en cours.
Pour une poutre avec masse à un bout, l'obtention du taux optimal a été établie dans certains cas particuliers de feedback d'ordre élevé, car on se ramène au problème de la poutre sans masse, avec feedback en vitesse, pour lequel on sait démontrer l'existence d'une base de Riesz par analyse asymptotique du spectre du système et utilisation de résultats de perturbation (Bari) [[7]]. On peut retrouver ce résultat en utilisant la théorie de Shkalikov qui donne un cadre général pour vérifier qu'un système de vecteurs propres généralisés de l'opérateur forme une base de Riesz de l'espace d'énergie, technique particulièrement adaptée aux systèmes (par exemple hybrides) où la valeur propre apparaît dans les conditions au bord. Le cas d'une poutre avec masse ou moment d'inertie plus général est en cours d'étude et rentre dans ce cadre.
La contrôlabilité exacte (qui est un concept plutôt théorique)
permet, si elle est établie, de nombreuses applications :
stabilisation par feedback direct, stabilisation par bouclage via
une équation de Riccati, contrôle
H
. Dans une
série de travaux en cours (avec George Weiss, Kaïs Ammari) on
donne des cadres précis où contrôlabilité implique
stabilisabilité [[33]].
Ces résultats étendent un résultat de A. Haraux, valable
uniquement pour des contrôles bornés. Les résultats généraux sont
ensuite appliqués à des modèles de poutres et de plaques
élastiques [[33]]. Dans
le cas d'un feedback ponctuel, on établit des estimations
valables même lorsque les solutions n'ont pas une énergie
décroissante exponentiellement [[33]]. Par ailleurs, on
considère le problème de la contrôlabilité simultanée d'une
structure flexible et d'un système de dimension finie. Le
résultat principal (avec G. Weiss) énonce que les deux systèmes
sont simultanément contrôlables si les deux spectres sont
disjoints [[38]].