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Méthodes numériques en
Finance
Participants : Nathalie Pistre, Claude Henin [université
d'Ottawa].
Mots clés : dominance stochastique, option, marché incomplet .
Les notions de dominance stochastique du premier et deuxième ordre ont été développées historiquement par Hadar et Russel (1969, 1971, 1974) et permettent de comparer des distributions très générales. On peut montrer que tout individu averse au risque (c'est-à-dire avec une fonction d'utilité concave) préfère nécessairement un actif à un autre (Fishburn (1964), Hadar et Russel (1969), Rothschild et Stiglitz (1970) et (1971)). Cette notion prend en compte le risque et le rendement de l'actif, ce n'est pas uniquement une mesure du risque comme le «Mean Preserving Spread» de Rothschild et Stiglitz (1971). Lévy et Kroll (1978), Kroll et Lévy (1979) étendent le pouvoir de ce concept en incluant un actif sans risque.
En utilisant ce concept de dominance stochastique du deuxième ordre, N. Pistre a développé en collaboration avec C. Henin (université d'Ottawa) des travaux portant sur l'évaluation d'options traditionnelles impossibles à dupliquer exactement ou avec des pay-offs non linéaires. Au lieu de chercher à déterminer le prix d'une option, on veut spécifier des bornes pour tous les prix de transaction possibles. Comme exemples d'application, citons la couverture d'options à la monnaie près de la maturité, les options knock-in / out près de la barrière, les options avec un continuum de prix d'exercice ou de barrières. Notons que ces dernières peuvent avoir des vertus en matière de couverture (Hart et Ross (1994)) et peuvent être obtenues comme des portefeuilles d'options avec différents prix d'exercice, mais le pay-off final est une fonction convexe du sous-jacent. Des options similaires sont offertes directement par les marchés financiers (sur le gré à gré) comme les power options dont l'exercice donne droit à une certaine puissance de la différence entre le prix du sous-jacent et le prix d'exercice ; elles sont concaves si la puissance est inférieure à 1. Elles commencent à être traitées sur les marchés de gré à gré anglo-saxons et peuvent aussi se rencontrer sous la forme d'investissements réels dont on sait qu'ils peuvent s'interpréter comme des options, le gain en cas d'exercice (investissement) n'étant pas forcément linéaire notamment à cause des coûts fixes. L'approche pour trouver des bornes sur les prix des options concaves est utilisée dans l'article «Stochastic Dominance Arguments and the bounding of Generalized Concave Option Price» [[20]]. L'approche a été généralisée pour des options convexes aussi bien que concaves (voir [[21]]) en utilisant comme stratégies de comparaison des stratégies utilisant une ou plusieurs options linéaires, ou encore une approximation polygonale d'options linéaires.
L'utilisation de la dominance stochastique dans la problématique de l'évaluation des dérivés en marchés incomplets permet également la prise en compte des coûts de transaction dans le calcul des bornes pour les prix admissibles d'une option. Un des résultats intéressants est que certains coûts de transaction sont inacceptables en ce sens qu'on peut toujours trouver une stratégie (simple) qui domine stochastiquement au deuxième ordre une autre stratégie, si bien qu'un des deux actifs ne serait pas négocié. Ainsi, certaines configurations de coûts de transaction placent le prix Black et Scholes hors de la zone des transactions possibles.