Précédent : Calcul de borne de prix Remonter : Résultats nouveaux Suivant : Contrats industriels (nationaux, européens et
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Remonter : Résultats nouveaux Suivant :
Contrats industriels
(nationaux, européens et
Mots clés : mathématiques financières, modèle d'arbre, asymptotique, modèle de Cox-Ross-Rubinstein .
Lorsque l'on utilise un modèle d'arbre pour calculer un prix d'option, on divise la durée du contrat T en n intervalles de temps et on suppose également que les valeurs prises par l'actif sous-jacent (et donc par l'option elle-même), sont discrètes. Malgré leur caractère assez grossier, les modèles d'arbres continuent à être largement utilisés par les praticiens, avant tout parce qu'ils sont faciles à comprendre. Pourtant ils posent parfois des problèmes car on maitrise encore mal l'asymptotique de l'erreur entre ce prix et sa limite lorsque n tend vers l'infini. En particulier, on observe, même dans les cas les plus simples, que le prix tend vers sa limite en présentant des oscillations que l'on ne savait pas expliquer. L'étude de cette erreur devrait permettre de comprendre ces comportements inattendus et pourrait fournir à l'utilisateur des méthodes d'extrapolation efficaces pour réduire le nombre de pas nécessaires à une précision donnée ou pour obtenir la meilleure précision possible lorsque ce nombre est imposé. Ceci est d'autant plus utile que dans bien des cas il n'existe aucune formule explicite permettant de calculer la limite (et donc de contrôler le calcul approché). Les premiers résultats obtenus montrent qu'il est possible de calculer complètement cette asymptotique dans le cas le plus simple d'une option standard (call) à la monnaie, dans le modèle de Cox, Ross et Rubinstein.
Mots clés : Méthode multigrille, équation d'Hamilton-Jacobi-Bellman .
Le but de ce thème est de franchir une nouvelle étape et de gagner en temps CPU en mettant au point un algorithme multigrille (MG) en différences finies. En effet, à partir d'une méthode itérative classique (telle que la méthode de Gauss-Seidel ou de Jacobi), le temps CPU nécessaire pour résoudre une EDP de type parabolique peut devenir très important. Ces méthodes itératives convergent avec un taux dépendant du pas de discrétisation, mais elles fournissent en général, un bon opérateur de lissage (contraction des modes de hautes fréquences avec un taux indépendant du pas de discrétisation). En revanche, si l'erreur initiale est lisse, une bonne approximation de cette erreur est fournie par la résolution de l'EDP sur une grille plus grossière. La méthode multigrille consiste à combiner ces deux opérations afin d'obtenir une contraction globale de l'erreur indépendante du pas de discrétisation. Le principe de la méthode MG est d'estimer des corrections grilles grossières pour la solution itérée sur la grille la plus fine. Ces corrections sont obtenues en résolvant, sur chaque niveau de grille, un système linéaire grossier construit à partir de la discrétisation de l'EDP.
Les expérimentations numériques avec l'algorithme multigrille linéaire ont permis de mettre en évidence l'efficacité de cette méthode pour résoudre des problèmes issus de modèles financiers. Nous avons d'abord traité la gestion de portefeuille (problème de Merton). Ensuite, nous nous sommes intéressés à une EDP complètement non linéaire donnant le prix de la plus petite surcouverture pour une option sur deux zéros coupons. Les résultats ont été confrontés à une méthode explicite de type arbre en dimension deux, la convergence est meilleure avec la méthode multigrille. Enfin, nous résolvons numériquement un problème de gestion de bilan.
En collaboration avec B. Lapeyre (École Nationale des Ponts et
Chaussées) et A. Sulem-Bialobroda (INRIA Rocquencourt), D. Talay
a poursuivi la rédaction du livre « Understanding Numerical
Analysis for Option Pricing » à paraître chez Cambridge
University Press.