Projet : ONDES

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Éléments finis mixtes d'ordre élevé pour l'équation des ondes

Participants : Gary Cohen, Sébastien Sonnenberg.

Mots clés : Eléments finis d'arête, équation de l'acoustique, condensation de masse, milieux anisotropes .

Résumé :

Construction et implémentation d'éléments finis mixtes d'ordre élevé avec condensation de masse pour l'équation de l'acoustique.

Devant les résultats encourageants obtenus par les méthodes d'éléments finis mixtes d'ordre élevé pour les équations de Maxwell, G. Cohen a étudié l'implémentation de méthodes du même type pour l'équation des ondes. Après reformulation de l'équation sous forme d'un système du premier ordre, on écrit une formulation variationnelle où la variable physique u est dans H¹($\Omega$) et la variable auxiliaire v(qui représente le gradient de u) est cherchée dans $\left[\vphantom{ L^{2}(\Omega) }\right.$L²($\Omega$)$\left.\vphantom{ L^{2}(\Omega) }\right]^{N}_{}$, où N = 2 ou 3 est la dimension de l'espace. Puis, ces espaces sont approchés par un espace d'éléments finis quadrilatéraux ou hexaédriques de type Lagrange pour u et un espace d'éléments finis discontinus dont la restriction à chaque élément appartient à H(div) pour v. La condensation de masse est alors réalisée par un formule de quadrature de Gauss-Lobatto. Cette méthode, qui peut modéliser des géométries complexes et des milieux anisotropes pour le même coût, programmée pour des éléments finis de type Q₃ par S. Sonnenberg lors de son stage de seconde année du CUST a donné des résultats très satisfaisants. Une comparaison des coûts avec une approximation de l'équation des ondes d'ordre 2 par des éléments finis de Lagrange avec condensation de masse a montré que la nouvelle méthode divisait le stockage par 2.5 pour un coût CPU équivalent en dimension 2 et divisait le stockage par 6 en réalisant un gain de temps de calcul de 40% en dimension 3. De plus, des couches parfaitement absorbantes variationnelles peuvent être utilisées pour ce type de méthodes afin de modéliser des milieux non-bornés.
Les extensions de cette approche aux milieux dissipatifs ainsi qu'au système de l'élastodynamique linéaire sont en cours d'étude.
Ce travail constitue la conclusion de l'habilitation à diriger des recherches en mathématiques appliquées que G. Cohen a soutenu le 20 Novembre 1998 à l'Université de Paris IX-Dauphine.

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