Projet : ONDES

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Sous-sections

• Études théoriques
• Développements Numériques

   
Modélisation numérique de la propagation d'ondes en milieu élastique fissuré

Participants : Eliane Bécache, Francis Collino, Patrick Joly, Chrysoula Tsogka.

Mots clés : éléments finis mixtes, élastodynamique, fissure .

 Nous avons poursuivi nos travaux sur la diffraction d'une onde élastique par une fissure. Pour prendre en compte la fissure nous utilisons la méthode des domaines fictifs qui conduit à considérer la formulation vitesse-contraintes des équations de l'élastodynamique. Nous avions construit l'année dernière des nouveaux éléments finis mixtes (appelés Q_{k + 1} - Q_k) permettant de faire la condensation de masse et donc d'obtenir des schémas en temps explicites.

Études théoriques

Nous avons étendu l'analyse de dispersion de ces éléments (précédemment limitée aux ordres Q₁ - Q₀ et Q₂ - Q₁) à l'ordre Q₃ - Q₂. Cette analyse a montré que comme pour les éléments d'ordres moins élevés nous avons une super-convergence dûe à l'utilisation de maillages réguliers, c'est à dire une convergence à l'ordre 6.

L'analyse d'erreur de type éléments finis qui avait été menée sur un modèle simplifié d'ondes anisotropes scalaire a été finalisée et a donné lieu à un rapport de recherche [[38]] (soumis pour publication à SIAM J. of Num. Anal.).

Pour obtenir des estimations d'erreur dans le cas des ondes élastiques anisotropes, nous avons rencontré deux difficultés: la première due au fait que les hypothèses classiques (voir Brezzi-Fortin) pour obtenir des estimations d'erreur ne sont pas satisfaites et la deuxième liée à la prise en compte de la symétrie du tenseur des contraintes. Rappelons que l'obtention d'estimations d'erreur pour les problèmes mixtes, qui utilisent deux espaces fonctionnels, repose habituellement sur deux points : un résultat de coercivité et une condition inf-sup. La théorie développée dans le cas scalaire permettait d'obtenir quand même des estimations sous des hypothèses de coercivité ``affaiblie'' et de condition inf-sup ``renforcée''. Cette théorie ne s'applique pas directement dans le cas élastique, néanmoins elle nous a guidée pour obtenir une nouvelle théorie abstraite applicable au cas élastique. Dans ce cas la condition inf-sup est elle aussi affaiblie... mais des hypothèses concernant les espaces d'approximation ont du être renforcées. L'application de cette théorie au cas élastique passe par une ``dualisation exacte'' de la condition de symétrie du tenseur des contraintes. La vérification des hypothèses de cette théorie nécessite l'usage des techniques de macro-éléments. De façon surprenante, ceci pose moins de difficulté pour les éléments finis d'ordre plus élevé ( Q_k - Q_{k + 1} pour k$\ge$1).

Développements Numériques

Nous avons étendu l'implémentation du schéma Q₁ - Q₀ à des milieux hétérogènes anisotropes comportant des fissures. Les couches PML ont été également implémentées et les résultats ont montré qu'elles sont encore très performantes en milieu hétérogène (c.f paragraphe 6.5). Nous avons enfin réalisé un film présentant la diffraction d'une onde élastique par une fissure dans un milieu hétérogène anisotrope (voir figure 1 et également
http://www-rocq.inria.fr/ondes/listfilm.html).

  

Figure 1: Instantané d'une experience de contrôle non destructif

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