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Conditions aux
limites absorbantes
Participants : Francis Collino, Thierry Fouquet, Patrick
Joly.
Mots clés : raffinement de maillage, FDTD, stabilité, précision .
Afin de tenir compte de géométries complexes dans des méthodes de différences finies, il est intéressant de pouvoir raffiner une partie de la grille de calcul en espace. Pour des raisons de condition de stabilité et de coût de calcul, il est souhaitable de raffiner également le pas de temps. Le point délicat est le traitement de la frontière entre les grilles. Celui-ci est en effet susceptible de détruire la stabilité et d'altérer la précision notamment par des phénomènes de réflexion à l'interface.
Nous avons poursuivi l'étude de raffinement de maillages pour
l'équation des ondes en une dimension par l'analyse d'un schéma
d'interpolation temporelle pour le raccordement des grilles. En
adaptant la technique de Kreiss à notre schéma, nous avons
démontré que dans le cas de plusieurs interfaces, par exemple un
maillage composé d'une grille grossière, d'une grille fine puis à
nouveau d'une grille grossière, il pouvait y avoir instabilité.
Les propriétés théoriques de cette instabilité ont été validées
par des expériences numériques (voir figure 2).
Nous nous sommes alors orientés vers une autre méthode de raccord des grilles basée sur des critères énergétiques. Plutôt que chercher un schéma consistant a priori et analyser sa stabilité dans un deuxième temps, nous avons pris l'option inverse choisissant d'abord d'assurer par construction la stabilité, puis, en jouant sur certains paramètres restés libres, en garantir la consistance. Nos premiers travaux ont porté sur le schéma de Yee en une dimension. Nous avons donc basé notre schéma sur la conservation d'une énergie assurant la stabilité. Plusieurs schémas consistants sont possibles; nous avons sélectionné le plus précis. Ce travail fait l'objet d'une note soumise au CRAS [[18]]. Des simulations numériques conduisent à penser que le schéma est d'ordre 2. Toutefois, l'analyse des coefficients de réflexion et de transmission a montré que le schéma génère à l'interface une réflexion d'ordre 2, une transmission d'ordre 2 ainsi qu'une onde transmise parasite (dans la grille fine) d'ordre 1: le traitement spécifique de cette onde parasite est un point à l'étude.
Afin d'étendre la méthode aux dimensions supérieures, nous avons reformulé le problème dans un cadre théorique plus général, celui des éléments finis mixtes. Rappelons que l'on peut par ce biais, retrouver le schéma de Yee à partir des éléments de Raviart-Thomas-Nédélec de plus bas degré, modulo l'emploi de formules de quadrature convenables pour le calcul des intégrales. Cette reformulation nous donne directement les schémas dans des dimensions supérieures mais permettrait également d'étendre cette méthode à des éléments d'ordre plus élevé ainsi qu'à d'autres problèmes hyperboliques. Signalons qu'elle amène à introduire une inconnue artificielle vivant sur l'interface grossière ; en l'occurence un courant. Cette inconnue est solution d'un système linéaire symétrique très creux. La matrice de ce système est définie positive dès que la condition de stabilité usuelle est respectée.
L'application aux équations de Maxwell à deux dimensions aboutit à deux types de problème. Le premier, qui correspond à la polarisation transverse électrique, a été implémenté et donne des résultats numériques intéressants Le deuxième qui correspond à la polarisation transverse magnétique conduit à un système tridiagonal à inverser et est actuellement en cours de programmation.
L'un des principaux objectifs pour l'an prochain est l'extension de notre code aux équations de Maxwell en 3 dimensions.
![\includegraphics[width=.49\linewidth]{c2.ps}](img12.gif)
![\includegraphics[width=.49\linewidth]{c3.ps}](img13.gif)