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Participant : Jean-David Benamou.
Le principe de Fermat consiste à calculer les points critiques d'un problème de calcul des variations et à évaluer la fonction valeur le long de trajectoires ainsi obtenues. On construit alors les bicaractéristiques du problème qui forment, dans la terminologie de la géométrie différentielle, une sous-variété Lagrangienne de l'espace des phases. Tant que la fonction valeur reste univoque, c'est à dire que la projection des bicaractéristiques sur l'espace physique, que nous appelerons rayons, est régulière, elle peut être calculée directement comme la solution d'une équation aux dérivées partielles l'équation d'Hamilton-Jacobi. Lorsque la sous-variété Lagrangienne se replie dans l'espace des phases, la projection est singulière et la fonction valeur multivaluée. La projection sur l'espace physique des bords de ces repliements forment les structures géométriques appelées caustiques qui délimitent les zones correspondant aux solutions multivoques de la fonction valeur. Il est encore possible de calculer directement, à l'aide de schémas numériques décentrés, une partie de la fonction valeur comme solution dite de ``viscosité'' de l'équation d'Hamilton-Jacobi. La solution de viscosité est naturellement univaluée, correspond aux minima absolus du problème de calcul des variations et présente dans le cas ou la solution cesse d'être classique des discontinuités de gradient de type chocs.
Le calcul numérique des bicaractéristiques, communément appelé ``lancer de rayons'' présente deux inconvénients. D'une part, ce calcul génére des zones de basse densité de rayons où la solution doit être interpolée. D'autre part, l'approximation de l'équation des ondes par l'optique géométrique n'est plus valide lorsque les rayons se croisent au voisinage des caustiques. Ces deux difficultés limitent l'exploitation de l'optique géométrique pour les problèmes de propagation d'ondes. Ce travail a pour objectif le calcul de la solution multivaluée en évitant la technique de lancer de rayons, que l'on peut qualifier de Lagrangienne par analogie avec la mécanique des fluides; et donc uniquement à l'aide de résolutions directes de l'équation d'Hamilton-Jacobi que l'on peut qualifier d'Eulérienne. La discrétisation de l'équation est alors laissée au choix de l'utilisateur ce qui résout le problème des zones de basse densité de rayons. Le problème des caustiques est lui lié à l'existence de solutions multivaluées et n'autorise pas a priori l'utilisation directe de l'équation.
Nous avons démontré un théorème permettant d'identifier (en dimension 2 pour les problèmes stationnaires et dimension 1 pour les problèmes instationaires) la solution Lagrangienne multivaluée en plusieurs solutions univaluées de l'équation d'Hamilton-Jacobi délimitées par les caustiques. Afin d'utiliser ce résultat pour la construction d'un algorithme, il est nécessaire de connaître la géométrie des caustiques. La classification générique des singularités locales des sous-variétés Lagrangiennes associées aux équations d'Hamilton-Jacobi nous donne une information qualitative sur la structure des caustiques que nous pouvons rencontrer. Il reste alors à determiner précisément leur position. Pour cela nous dérivons une équation de transport, couplée à l'équation d'Hamilton-Jacobi, dont la solution donne localement le déterminant du Jacobien du champ de rayons. Les caustiques correspondent en effet aux points où cette quantité s'annule. On a donc finalement un problème de frontière libre (la caustique) à résoudre.
Malgré l'utilisation d'une technique grossière pour discrétiser et calculer la frontière libre, on a pu ainsi, à l'aide d'un solveur Eikonal mis au point par W. W. Symes, résoudre numériquement de façon automatique et sans calculer de bicaractéristiques des solutions multivaluées pour une équation d'Hamilton-Jacobi (l'équation Eikonale). La superposition de caustiques (plusieurs repliements successifs dans l'espace des phases) est possible et correspond à des solutions plus que trivaluées. On utilise dans ce cas la même technique de manière récursive sur chacune des branches concernées de la solution multivaluée.