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Modélisation
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Participant : Jean-David Benamou.
L'utilisation de la transformée de Wigner permet, comme dans le cas de l'équation de Shrödinger (P.L. Lions et Paul), d'établir la limite semi-classique de l'équation de Helmholtz vers le système Hamiltonien des rayons lorsque la fréquence tends vers l'infini. Cette technique produit également une suite d'équations de type Liouville pour une densité qui est précisément la transformée de Wigner de la solution de l'équation de Helmholtz.
Avec T. Katsaounis (FORTH, Crète) et B. Perthame (ENS-Ulm/M3N), nous étudions la discrétisation particulaire de cette densité. On a ainsi pu écrire divers modèles particulaires de l'équation de Helmholtz consistants à la limite avec le modèle asymptotique des rayons. Il font clairement apparaître, à travers la présence d'un noyau de convolution, le caractère diffusif de la propagation des ondes (principe de Huygens) qui existe avant la limite en fréquence.
L'utilisation pratique de cette nouvelle formulation de l'équation de Helmholtz se heurte essentiellement à trois difficultés : la prise en compte de ce noyau de convolution lorsque l'espace des phases est discrétisé, le caractère délocalisé de la source de l'équation de Liouville faisant intervenir de manière explicite la solution de l'équation de Hemlholtz et, lié à ce dernier problème, l'absence de transformée inverse permettant de récupérer la solution de l'equation de Hemlholtz à partir des densités solutions de l'équation de Liouville.
En dimension 1, on peut interpréter les solutions de ces deux équations à l'aide de l'ansatz classique de l'optique géométrique faisant intervenir l'amplitude et la phase des ondes. On peut alors essayer de résoudre le problème de la délocalisation par une méthode de point fixe sur la source. Nous avons ainsi obtenu des résultats raisonnables en haute fréquence; mais il semble, pour capturer des effets basses fréquences, qu'il soit indispensable de s'attaquer à la première difficulté indiquée ci-dessus.