Projet : ONDES

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Méthodes de gradients pour le calcul du transport de masse à coût optimal entre deux densités

Participant : Jean-David Benamou.

Le premier problème de transport de masse à coût optimal fut considéré par Monge en 1781 dans son ``mémoire sur la théorie des déblais et des remblais''. Un traitement moderne de ce problème a été initié par Kantorovich en 1942 sous le nom de problème de Monge-Kantorovich. L'intérêt pour ce problème a connu un regain d'activité dans les années 1990 et un grand nombre d'applications et de généralisations ont été proposées.

Le cadre général du problème de Monge-Kantorovich est le suivant : On se donne deux fonctions de densités $\rho_{0}^{}$(x)$\ge$ 0 et $\rho_{T}^{}$(x)$\ge$ 0 pour x $\in$ $\mathbb{R}$^d que nous supposons bornées et de masse totale normalisées

 

$$\int_{\mathbb{R} ^d}^{} \rho_{0}^{} \int_{\mathbb{R} ^d}^{} \rho_{T}^{}$$ (2)

Nous dirons qu'une application M de $\mathbb{R}$^d dans $\mathbb{R}$^d réalise le transport de $\rho_{0}^{}$ vers $\rho_{T}^{}$ si, pour tout sous-ensemble A de $\mathbb{R}$^d,

 

$$\int_{x\in A}^{} \rho_{T}^{} \int_{M(x)\in A}^{} \rho_{0}^{}$$ (3)

Si de plus M est une application bijective et régulière, (3) signifie simplement

 

$$\nabla \rho_{T}^{} \rho_{0}^{}$$ (4)

où det désigne le determinant pour les matrices d x d . Ce problème, dit du ``Jacobien'', consiste à trouver l'application M, étant donnés $\rho_{0}^{}$ et $\rho_{T}^{}$.

Mais le problème (4) est clairement sous-determiné et il est naturel de choisir parmi les applications qui vérifient (3), celles qui sont optimales en un sens convenable. C'est ainsi que l'on introduit la distance, dite de Kantorovich ou de Wasserstein d'exposant p, entre $\rho_{0}^{}$ et $\rho_{T}^{}$ qui est définie par :

 

$$\rho_{0}^{} \rho_{T}^{} \inf_{M}^{} \int \rho_{0}^{}$$ (5)

où p$\ge$1 est fixé, |.| représente la norme euclidienne dans $\mathbb{R}$^det l'infimum est pris parmi toutes les applications M qui transportent $\rho_{0}^{}$ vers $\rho_{T}^{}$. Lorsque l'infimum est atteint par une application encore notée M, on dit que M réalise un transport optimal et donne la solution du problème de Monge-Kantorovich (MKP) d'exposant 2.

Cette distance a de nombreuses applications théoriques. Du point de vue du calcul, elle donne une information quantitative permettant de comparer deux densités. Elle pourrait être utilisée pour des applications aussi variées que la reconnaissance de forme, la vision artificielle et le traitement du signal, l'assimilation de données en météorologie et océanographie, la chimie quantique ...

Le résultat théorique de base sur le problème MKP2 est le suivant : Il existe un unique transport optimal M qui est caractérisé comme l'application qui réalise le transport de $\rho_{0}^{}$ vers $\rho_{T}^{}$ et peut être écrite comme le gradient d'une fonction convexe $\Psi$,

 

$$\nabla \Psi$$ (6)

On voit donc que (d'après (4)) $\Psi$ est une solution (dans un sens faible) de l'équation de Monge-Ampère ( H$\Psi$ désigne le Hessien de $\Psi$)

 

$$\Psi \rho_{T}^{} \nabla \Psi \rho_{0}^{}$$ (7)

Ces résultats théoriques indiquent que la résolution numérique de l'équation de Monge-Ampère (7) est un candidat naturel pour une méthode de calcul du MKP2 ou de la factorisation polaire. Malheureusement, il semble qu'il n'existe pas de méthodes de différences finies ou d'éléments finis, pour la résolution de cette équation elliptique non-linéaire, d'efficacité comparable aux méthodes qui existent pour les équations elliptiques linéaires du second ordre (gradient conjugué préconditionné, méthodes multigrilles,...). De plus le problème de transport de masse sous-jacent à (7) ne possède pas de conditions aux bords standard.

Ce travail, en collaboration avec Y. Brenier (Université Paris 6), propose une méthode originale de résolution du problème MKP 2 qui évite la résolution directe de (7). Elle est basée sur une reformulation du problème de transport de masse dans un cadre de mécanique des milieux continus. On remplace ainsi un problème de minimization quadratique en M, mais avec contrainte non linéaire non convexe et dégénérée (3) par un nouveau problème où les inconnues dépendent maintenant d'une variable supplémentaire assimilée au temps. Ce problème est un problème de minimisation convexe sous contraintes linéaires. Il correspond donc à un problème de point selle qui peut être résolu par une méthode de gradient de type Uzawa. Nous utilisons une technique (à la Fortin-Glowinski), classique en mécanique, de Lagrangien Augmenté. L'algorithme est très simple à mettre en oeuvre et son coût pour chaque itération de la méthode d'Uzawa est presque optimal.

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