<!DOCTYPE html PUBLIC "-//W3C//DTD HTML 3.2//EN">
<!--Converted with LaTeX2HTML 98.1p1 release (March 2nd, 1998)
originally by Nikos Drakos (nikos@cbl.leeds.ac.uk), CBLU, University of Leeds
* revised and updated by:  Marcus Hennecke, Ross Moore, Herb Swan
* with significant contributions from:
  Jens Lippmann, Marek Rouchal, Martin Wilck and others -->

<html>
<head>
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  "HTML Tidy for Mac OS X (vers 31 October 2006 - Apple Inc. build 13), see www.w3.org">

  <title>Projet : ONDES - Méthodes de gradients pour le calcul du
  transport de masse à coût optimal entre deux densités</title>
  <meta name="description" content=
  "Méthodes de gradients pour le calcul du transport de masse à coût optimal entre deux densités">
  <meta name="keywords" content="ondes">
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<body bgcolor="white">
  <a href="http://www.inria.fr/Equipes/ONDES-fra.html">Projet :
  ONDES</a>

  <p><a name="tex2html579" href="resul_module-31.html"><img width=
  "24" height="24" align="bottom" border="4" alt="previous" src=
  "../icons/previous_motif.gif"></a> <a name="tex2html583" href=
  "resul.html"><img width="24" height="24" align="bottom" border=
  "4" alt="up" src="../icons/up_motif.gif"></a> <a name=
  "tex2html586" href="contr.html"><img width="24" height="24"
  align="bottom" border="4" alt="next" src=
  "../icons/next_motif.gif"></a> <a name="tex2html585" href=
  "ondes.html"><img width="24" height="24" align="bottom" border=
  "4" alt="contents" src="../icons/contents_motif.gif"></a><br>
  <b>Précédent :</b> <a name="tex2html580" href=
  "resul_module-31.html">Comportement asymptotique aux temps
  longs</a> <b>Remonter&nbsp;:</b> <a name="tex2html584" href=
  "resul.html">Résultats nouveaux</a> <b>Suivant&nbsp;:</b>
  <a name="tex2html587" href="contr.html">Contrats industriels
  (nationaux, européens et</a><br></p>
  <hr>

  <p><!--End of Navigation Panel--></p>

  <h2><a name="SECTION000618000000000000000">&nbsp;</a> <a name=
  "ONDES_resultats_module-32">&nbsp;</a><br>
  Méthodes de gradients pour le calcul du transport de masse à coût
  optimal entre deux densités</h2>

  <p><br>
  <br>
  <b>Participant :</b> Jean-David Benamou.<br>
  <br></p>

  <p>Le premier problème de transport de masse à coût optimal fut
  considéré par Monge en 1781 dans son ``mémoire sur la théorie des
  déblais et des remblais''. Un traitement moderne de ce problème a
  été initié par Kantorovich en 1942 sous le nom de problème de
  Monge-Kantorovich. L'intérêt pour ce problème a connu un regain
  d'activité dans les années 1990 et un grand nombre d'applications
  et de généralisations ont été proposées.</p>

  <p>Le cadre général du problème de Monge-Kantorovich est le
  suivant&nbsp;: On se donne deux fonctions de densités 
  <!-- MATH: $\rho_0(x)\ge 0$ -->
  <img width="16" height="22" align="middle" border="0" src=
  "img20.gif" alt="$ \rho_{0}^{}$">(<i>x</i>)<img width="13"
  height="22" align="middle" border="0" src="img10.gif" alt=
  "$ \ge$"> 0 et <!-- MATH: $\rho_T(x)\ge 0$ -->
  <img width="18" height="22" align="middle" border="0" src=
  "img21.gif" alt="$ \rho_{T}^{}$">(<i>x</i>)<img width="13"
  height="22" align="middle" border="0" src="img10.gif" alt=
  "$ \ge$"> 0 pour <!-- MATH: $x\in
\mathbb{R}^d$ -->
  <i>x</i> <img width="12" height="22" align="middle" border="0"
  src="img22.gif" alt="$ \in$"> <img width="13" height="11" align=
  "bottom" border="0" src="img23.gif" alt=
  "$ \mathbb{R}$"><sup>d</sup> que nous supposons bornées et de
  masse totale normalisées</p>

  <div align="center">
    <a name="masses">&nbsp;</a> <!-- MATH: \begin{equation}
\int_{\mathbb{R} ^d}\rho_0(x)dx=\int_{\mathbb{R} ^d}\rho_T(x)dx=1 .
\end{equation} -->

    <table cellpadding="0" width="100%" align="center">
      <tr valign="middle">
        <td nowrap align="center"><img width="23" height="41"
        align="middle" border="0" src="img24.gif" alt=
        "$\displaystyle \int_{\mathbb{R} ^d}^{}$"><img width="16"
        height="22" align="middle" border="0" src="img25.gif" alt=
        "$\displaystyle \rho_{0}^{}$">(<i>x</i>)<i>dx</i> =
        <img width="23" height="41" align="middle" border="0" src=
        "img24.gif" alt=
        "$\displaystyle \int_{\mathbb{R} ^d}^{}$"><img width="18"
        height="22" align="middle" border="0" src="img26.gif" alt=
        "$\displaystyle \rho_{T}^{}$">(<i>x</i>)<i>dx</i> = 1.</td>

        <td nowrap width="10" align="right">(2)</td>
      </tr>
    </table>
  </div><br clear="all">
  Nous dirons qu'une application <i>M</i> de 
  <!-- MATH: $\mathbb{R}^d$ -->
  <img width="13" height="11" align="bottom" border="0" src=
  "img23.gif" alt="$ \mathbb{R}$"><sup>d</sup> dans 
  <!-- MATH: $\mathbb{R}^d$ -->
  <img width="13" height="11" align="bottom" border="0" src=
  "img23.gif" alt="$ \mathbb{R}$"><sup>d</sup> réalise le transport
  de <img width="16" height="22" align="middle" border="0" src=
  "img20.gif" alt="$ \rho_{0}^{}$"> vers <img width="18" height=
  "22" align="middle" border="0" src="img21.gif" alt=
  "$ \rho_{T}^{}$"> si, pour tout sous-ensemble <i>A</i> de 
  <!-- MATH: $\mathbb{R}^d$ -->
  <img width="13" height="11" align="bottom" border="0" src=
  "img23.gif" alt="$ \mathbb{R}$"><sup>d</sup>,

  <div align="center">
    <a name="transport">&nbsp;</a> <!-- MATH: \begin{equation}
\int_{x\in A}\rho_T(x)dx=\int_{M(x)\in A}\rho_0(x)dx.
\end{equation} -->

    <table cellpadding="0" width="100%" align="center">
      <tr valign="middle">
        <td nowrap align="center"><img width="31" height="41"
        align="middle" border="0" src="img27.gif" alt=
        "$\displaystyle \int_{x\in A}^{}$"><img width="18" height=
        "22" align="middle" border="0" src="img26.gif" alt=
        "$\displaystyle \rho_{T}^{}$">(<i>x</i>)<i>dx</i> =
        <img width="50" height="41" align="middle" border="0" src=
        "img28.gif" alt=
        "$\displaystyle \int_{M(x)\in A}^{}$"><img width="16"
        height="22" align="middle" border="0" src="img25.gif" alt=
        "$\displaystyle \rho_{0}^{}$">(<i>x</i>)<i>dx</i>.</td>

        <td nowrap width="10" align="right">(3)</td>
      </tr>
    </table>
  </div><br clear="all">
  Si de plus <i>M</i> est une application bijective et régulière,
  (<a href="resul_module-32.html#transport">3</a>) signifie
  simplement

  <div align="center">
    <a name="transport_2">&nbsp;</a> <!-- MATH: \begin{equation}
det(\nabla M(x))\rho_T(M(x))=\rho_0(x),
\end{equation} -->

    <table cellpadding="0" width="100%" align="center">
      <tr valign="middle">
        <td nowrap align="center"><i>det</i>(<img width="14"
        height="12" align="bottom" border="0" src="img17.gif" alt=
        "$\displaystyle \nabla$"><i>M</i>(<i>x</i>))<img width="18"
        height="22" align="middle" border="0" src="img26.gif" alt=
        "$\displaystyle \rho_{T}^{}$">(<i>M</i>(<i>x</i>)) =
        <img width="16" height="22" align="middle" border="0" src=
        "img25.gif" alt=
        "$\displaystyle \rho_{0}^{}$">(<i>x</i>),</td>

        <td nowrap width="10" align="right">(4)</td>
      </tr>
    </table>
  </div><br clear="all">
  où <i>det</i> désigne le determinant pour les matrices 
  <!-- MATH: $d \times d$ -->
  <i>d</i> <tt>x</tt> <i>d</i> . Ce problème, dit du ``Jacobien'',
  consiste à trouver l'application <i>M</i>, étant donnés
  <img width="16" height="22" align="middle" border="0" src=
  "img20.gif" alt="$ \rho_{0}^{}$"> et <img width="18" height="22"
  align="middle" border="0" src="img21.gif" alt="$ \rho_{T}^{}$">.

  <p>Mais le problème (<a href=
  "resul_module-32.html#transport_2">4</a>) est clairement
  sous-determiné et il est naturel de choisir parmi les
  applications qui vérifient (<a href=
  "resul_module-32.html#transport">3</a>), celles qui sont
  optimales en un sens convenable. C'est ainsi que l'on introduit
  la distance, dite de Kantorovich ou de Wasserstein d'exposant
  <i>p</i>, entre <img width="16" height="22" align="middle"
  border="0" src="img20.gif" alt="$ \rho_{0}^{}$"> et <img width=
  "18" height="22" align="middle" border="0" src="img21.gif" alt=
  "$ \rho_{T}^{}$"> qui est définie par&nbsp;:</p>

  <div align="center">
    <a name="wasserstein">&nbsp;</a> <!-- MATH: \begin{equation}
d_p(\rho_0,\rho_T)^p=\inf_M \int |M(x)-x|^p \rho_0(x)dx,
\end{equation} -->

    <table cellpadding="0" width="100%" align="center">
      <tr valign="middle">
        <td nowrap align="center"><i>d</i><sub>p</sub>(<img width=
        "16" height="22" align="middle" border="0" src="img25.gif"
        alt="$\displaystyle \rho_{0}^{}$">,<img width="18" height=
        "22" align="middle" border="0" src="img26.gif" alt=
        "$\displaystyle \rho_{T}^{}$">)<sup>p</sup> = <img width=
        "19" height="32" align="middle" border="0" src="img29.gif"
        alt="$\displaystyle \inf_{M}^{}$"><img width="16" height=
        "41" align="middle" border="0" src="img30.gif" alt=
        "$\displaystyle \int$">| <i>M</i>(<i>x</i>) -
        <i>x</i>|<sup>p</sup><img width="16" height="22" align=
        "middle" border="0" src="img25.gif" alt=
        "$\displaystyle \rho_{0}^{}$">(<i>x</i>)<i>dx</i>,</td>

        <td nowrap width="10" align="right">(5)</td>
      </tr>
    </table>
  </div><br clear="all">
  où <i>p</i><img width="13" height="22" align="middle" border="0"
  src="img10.gif" alt="$ \ge$">1 est fixé, |.| représente la norme
  euclidienne dans <!-- MATH: $\mathbb{R}^d$ -->
  <img width="13" height="11" align="bottom" border="0" src=
  "img23.gif" alt="$ \mathbb{R}$"><sup>d</sup>et l'infimum est pris
  parmi toutes les applications <i>M</i> qui transportent
  <img width="16" height="22" align="middle" border="0" src=
  "img20.gif" alt="$ \rho_{0}^{}$"> vers <img width="18" height=
  "22" align="middle" border="0" src="img21.gif" alt=
  "$ \rho_{T}^{}$">. Lorsque l'infimum est atteint par une
  application encore notée <i>M</i>, on dit que <i>M</i> réalise un
  transport optimal et donne la solution du problème de
  Monge-Kantorovich (MKP) d'exposant 2.<br>

  <p>Cette distance a de nombreuses applications théoriques. Du
  point de vue du calcul, elle donne une information quantitative
  permettant de comparer deux densités. Elle pourrait être utilisée
  pour des applications aussi variées que la reconnaissance de
  forme, la vision artificielle et le traitement du signal,
  l'assimilation de données en météorologie et océanographie, la
  chimie quantique ...</p>

  <p>Le résultat théorique de base sur le problème MKP2 est le
  suivant&nbsp;: Il existe un unique transport optimal <i>M</i> qui
  est caractérisé comme l'application qui réalise le transport de
  <img width="16" height="22" align="middle" border="0" src=
  "img20.gif" alt="$ \rho_{0}^{}$"> vers <img width="18" height=
  "22" align="middle" border="0" src="img21.gif" alt=
  "$ \rho_{T}^{}$"> et peut être écrite comme le gradient d'une
  fonction convexe <img width="13" height="11" align="bottom"
  border="0" src="img31.gif" alt="$ \Psi$">,</p>

  <div align="center">
    <a name="gradient">&nbsp;</a> <!-- MATH: \begin{equation}
M(x)=\nabla\Psi(x).
\end{equation} -->

    <table cellpadding="0" width="100%" align="center">
      <tr valign="middle">
        <td nowrap align="center"><i>M</i>(<i>x</i>) = <img width=
        "14" height="12" align="bottom" border="0" src="img17.gif"
        alt="$\displaystyle \nabla$"><img width="13" height="11"
        align="bottom" border="0" src="img32.gif" alt=
        "$\displaystyle \Psi$">(<i>x</i>).</td>

        <td nowrap width="10" align="right">(6)</td>
      </tr>
    </table>
  </div><br clear="all">
  On voit donc que (d'après (<a href=
  "resul_module-32.html#transport_2">4</a>)) <img width="13"
  height="11" align="bottom" border="0" src="img31.gif" alt=
  "$ \Psi$"> est une solution (dans un sens faible) de l'équation
  de Monge-Ampère ( <i>H</i><img width="13" height="11" align=
  "bottom" border="0" src="img31.gif" alt="$ \Psi$"> désigne le
  Hessien de <img width="13" height="11" align="bottom" border="0"
  src="img31.gif" alt="$ \Psi$">)

  <div align="center">
    <a name="monge-ampere">&nbsp;</a> <!-- MATH: \begin{equation}
det(H\Psi(x))\rho_T(\nabla\Psi(x))=\rho_0(x),
\end{equation} -->

    <table cellpadding="0" width="100%" align="center">
      <tr valign="middle">
        <td nowrap align="center"><i>det</i>(<i>H</i><img width=
        "13" height="11" align="bottom" border="0" src="img32.gif"
        alt="$\displaystyle \Psi$">(<i>x</i>))<img width="18"
        height="22" align="middle" border="0" src="img26.gif" alt=
        "$\displaystyle \rho_{T}^{}$">(<img width="14" height="12"
        align="bottom" border="0" src="img17.gif" alt=
        "$\displaystyle \nabla$"><img width="13" height="11" align=
        "bottom" border="0" src="img32.gif" alt=
        "$\displaystyle \Psi$">(<i>x</i>)) = <img width="16"
        height="22" align="middle" border="0" src="img25.gif" alt=
        "$\displaystyle \rho_{0}^{}$">(<i>x</i>),</td>

        <td nowrap width="10" align="right">(7)</td>
      </tr>
    </table>
  </div><br clear="all">

  <p>Ces résultats théoriques indiquent que la résolution numérique
  de l'équation de Monge-Ampère (<a href=
  "resul_module-32.html#monge-ampere">7</a>) est un candidat
  naturel pour une méthode de calcul du MKP2 ou de la factorisation
  polaire. Malheureusement, il semble qu'il n'existe pas de
  méthodes de différences finies ou d'éléments finis, pour la
  résolution de cette équation elliptique non-linéaire,
  d'efficacité comparable aux méthodes qui existent pour les
  équations elliptiques linéaires du second ordre (gradient
  conjugué préconditionné, méthodes multigrilles,...). De plus le
  problème de transport de masse sous-jacent à (<a href=
  "resul_module-32.html#monge-ampere">7</a>) ne possède pas de
  conditions aux bords standard.</p>

  <p>Ce travail, en collaboration avec Y. Brenier (Université Paris
  6), propose une méthode originale de résolution du problème MKP 2
  qui évite la résolution directe de (<a href=
  "resul_module-32.html#monge-ampere">7</a>). Elle est basée sur
  une reformulation du problème de transport de masse dans un cadre
  de mécanique des milieux continus. On remplace ainsi un problème
  de minimization quadratique en <i>M</i>, mais avec contrainte non
  linéaire non convexe et dégénérée (<a href=
  "resul_module-32.html#transport">3</a>) par un nouveau problème
  où les inconnues dépendent maintenant d'une variable
  supplémentaire assimilée au temps. Ce problème est un problème de
  minimisation convexe sous contraintes linéaires. Il correspond
  donc à un problème de point selle qui peut être résolu par une
  méthode de gradient de type Uzawa. Nous utilisons une technique
  (à la Fortin-Glowinski), classique en mécanique, de Lagrangien
  Augmenté. L'algorithme est très simple à mettre en oeuvre et son
  coût pour chaque itération de la méthode d'Uzawa est presque
  optimal.</p>

  <p><br></p>
  <hr>
  <a name="tex2html579" href="resul_module-31.html"><img width="24"
  height="24" align="bottom" border="4" alt="previous" src=
  "../icons/previous_motif.gif"></a> <a name="tex2html583" href=
  "resul.html"><img width="24" height="24" align="bottom" border=
  "4" alt="up" src="../icons/up_motif.gif"></a> <a name=
  "tex2html586" href="contr.html"><img width="24" height="24"
  align="bottom" border="4" alt="next" src=
  "../icons/next_motif.gif"></a> <a name="tex2html585" href=
  "ondes.html"><img width="24" height="24" align="bottom" border=
  "4" alt="contents" src="../icons/contents_motif.gif"></a><br>
  <b>Précédent :</b> <a name="tex2html580" href=
  "resul_module-31.html">Comportement asymptotique aux temps
  longs</a> <b>Remonter&nbsp;:</b> <a name="tex2html584" href=
  "resul.html">Résultats nouveaux</a> <b>Suivant&nbsp;:</b>
  <a name="tex2html587" href="contr.html">Contrats industriels
  (nationaux, européens et</a>

  <p><!--End of Navigation Panel--></p>
</body>
</html>
