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Résultats nouveaux
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et
Une autre étude accomplie en 1998 porte sur la reconstruction
de partitions d'un ensemble donné. Dans ce cas, nous cherchons à
reconstruire une partition de l'ensemble en interrogeant des
sous-ensembles, et la réponse détermine le nombre de parties
représentées dans le sous-ensemble testé. Nous avons développé un
algorithme résolvant le problème en
O(nloglog n) questions alors que, selon la
borne inférieure obtenue, au moins O(n) questions
sont indispensables. Un problème voisin a été également étudié,
qui consiste à identifier un représentant de chaque partie sans
forcément reconstruire entièrement la partition. Pour ce
problème, nous avons proposé un algorithme nécessitant
O(Klog n) questions, où K est le
nombre de parties. Ici, nous disposons de la borne inférieure de
O(
log n)
(K est une constante). Ces résultats sont publiés dans
[[14]]. Il est à
noter que les problèmes considérés de reconstruction de
partitions ont été motivés par un problème biologique
d'identification de chromosomes [SBAW97].
L'article [[9]] paru en 1998 étudie, du point de vue de la recherche combinatoire, un problème biologique de l'établissement d'une carte physique de génome bactérien.
V. Grébinski a soutenu une thèse de doctorat [[3]] intitulée « Recherche Combinatoire : Problèmes de Pesage, Reconstruction de Graphes et Applications » qui a reçu la mention « très honorable avec félicitations du jury ». Cette thèse couronne la série de travaux sur la recherche combinatoire que V. Grébinski, en collaboration avec G. Kucherov, a menés depuis trois ans. En guise de bilan, ces travaux ont donné lieu à quatre communications dans des conférences internationales de plus haut niveau (telles que SODA ou ESA), un article dans une revue internationale réputée et un logiciel expérimental (Designer).
Nos travaux sur ce thème de recherche ont vu un progrès
considérable durant l'année 1998, avec en particulier un séjour
post-doctoral de 10 mois de R. Kolpakov. Nous avons d'abord
poursuivi nos études théoriques de la fonction définie comme la
proportion minimale limite de 1 dans les mots sans
puissance n sur l'alphabet binaire {0, 1}. L'étude de
la fonction en question a été lancée dans l'article de
R. Kolpakov et G. Kucherov présenté à la conférence
MFCS'97. Pendant cette année nous avons amélioré les résultats de
cet article, à savoir nous avons prouvé que le taux limite
minimal de 1 dans les mots infinis sans puissance n est
asymptotiquement de
(l'estimation précédente était de
. La
généralisation de la fonction de taux pour les puissances réelles
(et non pas seulement pour les entiers) a donné lieu à un nouvel
article [[16]].
Dans la lignée des travaux sur les répétitions dans les mots, nous avons abordé un nouveau problème lié à la fois au nombre maximal de répétitions dans un mot et à la recherche efficace des répétitions. Nous avons d'abord étudié et classifié les différentes définitions d'une répétition dans un mot, et avons considéré les répétitions dites maximales qui peuvent être considérées comme un codage de toutes les répétitions dans le mot. À savoir, les répétitions maximales sont celles qui ne peuvent pas être étendues à droite ou à gauche sans que la période minimale soit augmentée. Nous avons calculé le nombre exact des répétitions maximales dans les mots de FIBONACCI. Ensuite nous avons prouvé un résultat très intéressant : le nombre maximal de répétitions maximales dans un mot de longueur nest une fonction linéaire en n. Ce résultat important de la combinatoire du mot est le premier de la sorte, car tous les résultats existants se bornaient à O(nlog n) pour le nombre de répétitions. De plus, ce résultat a permis d'inférer un algorithme recherchant toutes les répétitions maximales dans un mot en temps O(n). Cela améliore plusieurs résultats connus et répond à quelques questions ouvertes dans le domaine. Ce travail est décrit dans [[19]].
Par ailleurs, l'article [[10]], décrivant des travaux antérieurs sur les langages d'arbres, est paru en 1998 comme un chapitre de livre. Les actes de la conférence WAI'97 contenant la communication [[12]] sont parus en 1998.