Avant-Projet : POLKA

Précédent : Algèbre commutative et résolution de Remonter : Résultats nouveaux Suivant : Algorithmique combinatoire

Sous-sections

• Équations diophantiennes.
• Dérivation discrète de suites.

   
Théorie des nombres

En septembre 1998, I. Vardi a complètement classifié le prolongement des séries de DIRICHLET avec chiffres de tête bornés. Il a écrit ses résultats dans une note « Chiffres de tête et nombres algébriques » soumise aux Comptes Rendus de l'Académie des Sciences. Son article What is Ancient Mathematics? a été accepté au journal Mathematical Intelligencer, et il a écrit avec Gérald Tenenbaum en octobre 1998 un article intitulé Niven Numbers, soumis à Acta Arithmetica. Enfin, avec J.-L. Rémy et P. Zimmermann, il a contribué au calcul numérique de la constante A₂ définie par Brigitte Vallée (Université de Caen) qui est liée au coût de l'algorithme d' EUCLIDE de calcul de pgcd.

Un travail effectué il y a deux ans en collaboration avec François Bertault et Olivier Ramaré sur les sommes de sept cubes a été accepté pour publication dans la revue Mathematics of Computation [[4]].

En collaboration avec Harvey Dubner, Tony Forbes, Nik Lygeros, et Michel Mizony, et en réponse à un problème posé dans Pour la Science, dix nombres premiers consécutifs en progression arithmétique ont été trouvés. Un article résumant ce travail a été soumis à la revue Mathematics of Computation.

Équations diophantiennes.

Depuis son arrivée en juillet 1998, G. Hanrot a poursuivi des travaux entrepris dans sa thèse concernant les équations diophantiennes [BH98a,BH98b,Han98]. En particulier, il a achevé la rédaction d'un article commun avec Yuri Bilu et Paul Voutier, qui met un point final à une conjecture célèbre datant du siècle dernier portant sur les diviseurs de nombres de la forme $\alpha^{n}_{}$ - $\beta^{n}_{}$, au moyen de calculs intensifs reposant sur les outils décrits dans sa thèse. L'article en question est soumis au Journal für die reine und angewandte Mathematik.

Un travail en cours (commun avec Yann Bugeaud et Maurice Mignotte de Strasbourg) consiste à tirer profit d'un aspect initialement marginal d'un article écrit en commun avec Yuri Bilu, qui dans certaines circonstances permet d'obtenir des résultats frappants de façon ``élémentaire''. Cette méthode permet, en particulier, d'améliorer dans certains cas des résultats difficiles de Maurice Mignotte sur la célèbre équation de CATALAN, x^p - y^q = 1. Ce travail s'est concrétisé par la rédaction d'un article sur l'équation de CATALAN soumis aux Annales de l'Institut Fourier.

Dérivation discrète de suites.

Il s'agit d'un travail de Y.-F.S. Pétermann, J.-L. Rémy et I. Vardi, qui sera décrit dans un article en cours de rédaction, intitulé Discrete derivatives of sequences. Si l'on considère une suite $F:{\mathbbm N}\rightarrow {\mathbbm N}$, non-décroissante et surjective, alors la quantité

F'(m) : = $${\frac{1}{\vert F^{-1}(F(m))\vert}}$$

peut être regardée comme la « pente » de F en m. Ainsi on appelle la fonction $F':{\mathbbm N}\rightarrow {\mathbbm R}$ la dérivée (discrète) de F, et on constate que l'analogie avec les équations différentielles habituelles est grande : la notion d'« intégration » de cette équation discrète correspond à la reconstruction de la suite F à partir de la suite $\tau$(F) : = {$\vert$F^-1(m)$\vert$}_{m = 1}^$\infty$de ses itérations.

Si l'on impose à tout entier positif k d'apparaître $\Gamma^{*}_{}$(k) fois, alors pour tout $m\in{\mathbbm N}$ l'entier F(m) doit apparaître $\Gamma^{*}_{}$(F(m)) fois, et donc

$${\frac{1}{\Gamma^*(F(m))}}$$ (1)

Pour que cette exigence ait un sens il faudra que $\Gamma^{*}_{}$(1) soit connu, et que $\Gamma^{*}_{}$($\ell$ + 1)puisse en tout cas être récursivement calculé à partir des $\Gamma^{*}_{}$(i) (i$\le$$\ell$). Dans cette perspective il est naturel de considérer des opérateurs positifs à valeurs entières $\Gamma^{*}_{}$, agissant sur l'identité F₀, la suite F = F₁, et sur les compositions successives F_k de F : il est alors facile de vérifier que l'équation différentielle (1)peut être intégrée et, avec la condition initiale F(1) = 1, livre une unique solution F, satisfaisant {$\Gamma^{*}_{}$(m)}_{m = 1}^$\infty$ = $\tau$(F).Et dans ce cas on peut trouver une fonction différentiable $\Gamma_0: {\mathbbm R}_+^{n}\rightarrow {\mathbbm R}_+$ telle que $\Gamma^{*}_{}$(m) = $\Gamma_{F}^{}$(m) + O(1), où en général, si f (t) est une fonction réelle positive, $\Gamma$(t) = $\Gamma_{f}^{}$(t) : = $\Gamma_{0}^{}$(f₀(t), f₁(t), ^... , f_{n - 1}(t)).Ainsi l'équation discrète (1) a sa contrepartie :

$${\frac{1}{\Gamma(f(t))}} \Gamma \Gamma_{f}^{}$$ (2)

équation (fonctionnelle) différentielle dans le sens habituel du terme, et dont on peut espérer que l'étude des solutions sera plus aisée.

On s'intéresse dans ce travail au comportement asymptotique de F, et on commence par donner des conditions qui garantissent que F se comporte asymptotiquement comme une solution de l'équation « approchée » :

$${\frac{1+o(1)}{\Gamma(f(t))}}$$ (3)

On développe ensuite des méthodes qui permettent de vérifier, pour certaines classes d'opérateurs $\Gamma$, que toutes les solutions de (3) (donc celle de (1)) se comportent d'une certaine façon. Or pour ces classes d'opérateurs on dispose également d'une solution particulière de (2), d'expression très simple, qui détermine le comportement cherché.

Ces méthodes font intervenir l'étude de certains polynômes.

Terminons ce résumé par quelques exemples. Mentionnons tout d'abord la suite déjà étudiée dans des travaux individuels et qui a motivé ce travail. Il s'agit de la suite auto-décrite de GOLOMB [[11]], qui est la suite non-décroissante surjective, coïncidant avec la suite de ses itérées,

{F(m)}_{m = 1}^$\infty$ = {1,$$\underbrace{2,2}_{2}^{}\,$$,$$\underbrace{3,3}_{2}^{}\,$$,$$\underbrace{4,4,4}_{3}^{}\,$$,$$\underbrace{5,5,5}_{3}^{}\,$$,$$\underbrace{6,6,6,6}_{4}^{}\,$$,...}.

On impose donc à k d'apparaître $\Gamma^{*}_{}$(k) = F(k) fois, ce qui signifie que

$$F'(m)=\frac1{(F\circ F)(m)} \eqno(1')$$

Une solution simple de l'équation analogue

$$f'(t)=\frac1{(f\circ f)(t)} \eqno(2')$$

est g(t) = $\phi^{2-\phi}_{}$t^{$\phi$ - 1}, où $\phi$ est le nombre d'or. Or, d'une part un premier résultat garantit que F se comporte asymptotiquement comme une solution de

$$f'(t)=\frac{1+o(1)}{(f\circ f)(t)} \eqno{(3')}$$

et d'autre part un théorème livrant les informations les plus précises sur les solutions d'équations de type (3) s'applique ici et nous apprend que toute solution de (3') se comporte asymptotiquement comme g.
Par conséquent F(m) $\sim$ $\phi^{2-\phi}_{}$m^{$\phi$ - 1}. Nos résultats s'appliquent en général lorsque
$\Gamma^{*}_{}$(m) = F₀^a₁(m)F₁^a₂(m) ^... F_{n - 1}^a_n(m), pour des valeurs non-négatives et non toutes nulles des exposants a_i. On se cantonne cependant à des exemples simples. Considérons le cas où $\Gamma^{*}_{}$(m) = F_k(m), (k$\ge$1), qui est une généralisation de l'exemple précédent (où k = 1). Lorsque k = 2, 3 et 4 notre théorème livrant les informations les plus précises sur les solutions d'équations de type (3) ne s'applique plus, mais un autre résultat permet de dire que F satisfait :

g(m)^{1 - $\epsilon$} $$\ll$$ F(m) $$\ll$$ g(m)^{1 + $\epsilon$}

pour tout $\epsilon$ > 0, où g est une solution (tout à fait explicite) de l'équation f'(t) = 1/f_k(t). Ce dernier résultat, à son tour, ne s'applique plus lorsque k$\ge$5, auquel cas nous pouvons seulement affirmer que g(m)^{c - $\epsilon$} $\ll$ F(m) $\ll$ g(m)^{C + $\epsilon$},pour certaines valeurs (explicites) de c et C (avec 0 < c < 1 < C).

Ce travail soulève de nombreuses questions intéressantes auxquelles nous ne savons pas (encore?) répondre. En particulier, plusieurs de ces questions sont contenues dans la question générale : nos résultats sont-ils optimaux ?

Précédent : Algèbre commutative et résolution de Remonter : Résultats nouveaux Suivant : Algorithmique combinatoire