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Optimisation de
formes en aérodynamique
On s'intéresse ici à la mise au point, l'analyse et l'évaluation d'algorithmes de résolution par décomposition de domaine pour des systèmes discrets issus d'EDP hyperboliques ou mixtes hyperboliques-paraboliques. L'étroite similarité formelle existant entre les méthodes hiérarchiques de type multigrille et celles par décomposition de domaine nous conduit à étudier plus profondément leur lien et les possibilités de couplage des deux approches.
Participants : Jean-Antoine Désidéri, Victorita Dolean,
Stéphane Lanteri.
Les méthodes de décomposition de domaines sans recouvrement par complément de Schur sont étroitement liées aux techniques d'élimination de Gauss par bloc (chaque bloc correspondant à un sous-domaine). Elles consistent à ramener la résolution d'un problème global posé sur l'ensemble des degrés de liberté (d.d.l.) issus d'une discrétisation éléments finis du domaine de calcul, à la résolution d'un problème de taille moindre posé sur les d.d.l. interfaces. Le problème d'interface ainsi posé est alors résolu par une méthode itérative adaptée (méthode de Krylov). L'avantage principal de ces méthodes par rapport à celles basées sur l'utilisation de domaines recouvrants est leur degré plus élevé de parallélisation. Les problèmes locaux peuvent être résolus presque indépendamment, des étapes de communication n'étant nécessaires que dans la phase d'assemblage des résultats locaux en vue de l'obtention de la solution globale. Les problèmes locaux dans chaque sous-domaine sont posés avec des conditions aux limites de type Dirichlet ou Neumann selon la nature de la frontière (si la frontière est « vraie » on a des conditions de Dirichlet et s'il s'agit d'une interface on a des conditions de flux imposé).
On étudie la possibilité de construire un algorithme de
résolution par sous-domaine pour un système hyperbolique
linéarisé éventuellement symétrisé. Une composante importante de
notre étude concerne l'utilisation de méthodes multigrilles en
combinaison avec un algorithme de résolution par sous-domaine.
Deux voies sont explorées : une stratégie multigrille est
employée comme accélérateur d'une méthode de relaxation pour
résoudre les problème locaux (il s'agit alors d'une alternative à
une méthode de résolution directe moins coûteuse en place
mémoire) ou bien comme préconditionneur du solveur itératif
utilisé pour le problème interface. À l'issue de cette première
partie de l'étude proposée, nous avons établi une formulation de
type Schur pour un système hyperbolique linéarisé. Plus
précisément, on construit une formulation de type Schwarz
additive sur une décomposition sans-recouvrement, basée
sur des conditions de raccord aux interfaces exprimées en termes
de flux entrants dans chaque sous-domaine. Après application
d'une technique de sous-structuration, nous obtenons un système
interface de la forme S
= g où
l'inconnue est un vecteur de flux numériques
aux interfaces entre sous-domaines (solveur de Riemann approché
de Roe dans le cas présent). Cette formulation a été implantée
dans un code de résolution des équations d'Euler
bidimensionnelles qui a les caractéristiques suivantes :
formulation mixte éléments finis/volumes finis en maillages
triangulaires, schéma d'intégration en temps du type Euler
implicite linéarisé, méthode d'accélération multigrille par
agglomération de volumes, stratégie de parallélisation MIMD
combinant des techniques de partitionnement de maillage et une
programmation dans un modèle par transfert de message
(utilisation de MPI). Ces travaux on fait l'objet d'une
présentation au CANUM98 [[34]].
Participants : Victorita Dolean, Caroline Japhet
(université de Paris XIII), Stéphane Lanteri, Frédéric Nataf
(CMAP, École Polytechnique).
Le système interface résultant de l'application d'une technique de sous-structuration à la formulation de type Schwarz additive adoptée pour la résolution numérique du système des équations d'Euler, est dans un premier temps résolu par une simple méthode de Richardson. L'étape suivante consiste à étudier l'application d'une méthode de minimisation de résidus généralisés telle que GMRES à la résolution de ce système. Il est bien connu que ce type de méthode itérative n'est réellement efficace (en termes d'itérations et de coût global) que si elle est correctement préconditionnée. On se propose donc d'étudier les propriétés de l'opérateur interface afin d'en déduire un bon préconditionneur. Cette étude est réalisée à l'aide de l'analyse de Fourier dans le cas de deux sous-domaines. On a notamment exhibé un inverse exact du symbole de l'opérateur à l'interface qu'on a identifié ensuite comme étant le symbôle d'un opérateur de préconditionnement non-local. Il faut ensuite approcher ce symbole pour obtenir un opérateur local ayant comme critère d'approximation la minimisation du taux de convergence du problème préconditionné. Cette étude a été initialisée avec la participation de V. Dolean au CIRM à Marseille dans le cadre CEMRACS98 (Centre d'Eté Mathématique de Recherche Avancée en Calcul Scientifique) du 20 juillet au 28 août 1998.