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Méthodes de
décomposition de domaine
Deux techniques multigrilles sont actuellement considérées au sein du projet SINUS : les multigrilles par agglomération qui ont fait l'objet de plusieurs thèses depuis 1988 et les multigrilles multimaillages qui ont été abordées plus récemment (notamment avec notre participation dans le projet européen IDEeMAS).
Participants : Gilles Carré, Gilles Carte, Alain Dervieux,
Jérôme Francescatto, Hervé Guillard, Stéphane Lanteri.
Le projet SINUS est partie prenante dans le projet communautaire IDeMAS qui est un projet BRITE/EURAM de type « Basic Research » (cf. développement du logiciel THOR). Dans ce projet, nous nous intéressons à la mise au point d'algorithmes multigrilles adaptés à une famille d'approximations multi-dimensionnelles (schémas MDHR, « Multi Dimensional High Resolution ») en 2D et 3D. La méthode multigrille sélectionnée est du type non-linéaire (algorithme FAS « Full Approximation Storage ») et notre contribution porte sur la mise au point de stratégies MG et FMG (« Full MultiGrid ») en maillage tétraédriques indépendants (c'est-à-dire qu'il n'existe pas de relation du type noeuds-emboîtés entre les différentes grilles), la construction d'opérateurs de transfert inter-grilles d'ordre élevé par interpolation éléments finis [[17]]-[[13]], ainsi que sur des aspects algorithmiques liés à la parallélisation sur architecture à mémoire distribuée.
Par ailleurs, nous menons avec Dassault Aviation (M. Mallet et F. Challot) l'étude d'une approche multimaillage par déraffinement rendue possible par les progrès des mailleurs automatiques. On a notamment étudié la mise au point d'algorithmes de déraffinement anisotrope de maillage. Il faut en effet, pour les applications de type Navier-Stokes, être capable de traiter des maillages de type couche-limite très étirés dans la direction parallèle à la paroi. Les algorithmes mis au point dans cette étude reposent sur des techniques de remaillages locaux pilotés par une carte de métrique issue du maillage fin. Cette étude a montré que l'on pouvait maintenant réaliser de façon automatique des séquences de grilles de niveau de raffinement différents même sur des maillages très étirés.
Participants : Hervé Guillard, Petr Vanek (UCLA).
Le point de départ de ce travail repose sur l'analogie entre les méthodes d'agglomération de volumes telles qu'elles ont été développées dans le projet SINUS et les méthodes multigrilles algébriques utilisant le concept d'agrégation des inconnues pour construire les niveaux grossiers. Pour les équations elliptiques, les opérateurs de prolongement correspondant à l'agglomération (l'agrégation) des inconnues ne sont pas suffisamment précis et il est nécessaire de les « enrichir ». Cela peut être fait de manière totalement algébrique en utilisant le concept de lissage des prolongements introduit par Vanek[VMB96]. Cependant cette technique de lissage suppose un déraffinement des espaces fins d'un facteur 3 alors que la pratique multigrille usuelle privilégie plutôt un déraffinement par un facteur 2. Dans un travail précédent on avait étendu la technique de lissage des prolongements pour admettre des facteurs de déraffinement arbitraires. Ici, on a donné à ces méthodes une interprétation théorique en termes de méthodes de Galerkin pour des opérateurs de prolongement modifiés. Cette interprétation nous a permis d'obtenir une preuve de convergence indépendante du maillage.
Participants : Luc Fournier, Stéphane Lanteri.
On s'intéresse ici à la mise au point d'algorithmes
multigrilles linéaires parallèles pour la résolution numérique
d'écoulements de fluides compressibles laminaires et turbulents.
Cette étude est menée sur la base d'une technique multigrille
utilisant un principe d'agglomération de surfaces (2D)/volumes
(3D) de contrôle pour construire une hiérarchie de grilles
grossières à partir d'un maillage éléments finis triangulaire
(2D)/tétraédrique (3D) définissant la grille la plus fine. La
stratégie multigrille est alors utilisée pour accélérer la
résolution itérative par relaxation de systèmes linéaires issus
d'un schéma d'intégration en temps de type implicite linéarisé.
Dans la formulation classique du multigrille les différents
niveaux de grille sont traités en séquence suivant un schéma
induit par le type de cycle sélectionné (V-cycle, F-cycle ou
W-cycle). L'opérateur itératif associé à un tel cycle s'exprime
alors comme le produit des opérateurs discrets (associés à l'EDP
résolue) sur un même niveau de grille, avec des opérateurs liés
aux lisseurs (opérations de pré-lissage et de
post-lissage) et des opérateurs de transfert (opération de
restriction depuis une grille fine vers une grille
grossière et opération de prolongation depuis une grille
grossière vers une grille fine). Pour cette raison, la
formulation classique du multigrille est qualifiée de
multiplicative. La parallélisation d'un algorithme
multigrille multiplicatif ne peut donc porter que sur les
opérations réalisées sur chaque niveau (parallélisation
intraniveaux). Dans un premier temps, une stratégie combinant des
techniques de partitionnement de maillage non-structuré et un
modèle de programmation en mémoire distribuée (standard d'échange
de messages MPI) a été adoptée pour la parallélisation
intraniveaux d'une méthode multigrille linéaire existante
(résolution numérique des équations de Navier-Stokes 2D couplées
à un modèle de turbulence
k - 
) [[18]]-[[42]]. Les performances
parallèles de l'algorithme multigrille multiplicatif
résultant ont été évaluées sur deux plateformes : l'architecture
MIMD en mémoire partagée SGI Power Challenge Array (à
base du processeur Mips R10000/180 Mhz) du centre
Charles Hermite de Nancy et une plateforme expérimentale
comprenant 13 Pentium Pro (P6/200 Mhz)
interconnectés par une technologie FastEthernet 100
Mbit/s mise en place à l' INRIA Sophia Antipolis.
Ces premières expérimentations numériques ont montré les limites généralement observées avec ce type d'approche : la progression du traitement depuis le niveau fin vers le niveau le plus grossier se traduit par une dégradation des performances parallèles due à une évolution défavorable du rapport entre étapes de calcul et étapes de communication. Pour remédier à ce problème, nous avons élaboré une variante additive de l'algorithme multigrille fondée sur une décomposition du résidu en modes de basses et hautes fréquences (« filtrage numérique »). Cette stratégie permet de définir une série de problèmes indépendants associés aux différents niveaux de grille (parallélisme interniveaux). La notion de cycle disparait et l'opérateur itératif associé s'exprime maintenant comme une somme d'opérateurs élémentaires. Des expérimentations numériques ont été réalisées sur la plateforme expérimentale de Pentium Pro citée plus haut ; ces expériences ont démontré une amélioration de l'efficacité parallèle par rapport aux résultats obtenus avec la formulation multiplicative [[35]].
Participants : Gilles Carré, Alain Dervieux, Stéphane
Lanteri.
Le travail décrit ici est au coeur du programme R&D N3S-PMG et vise le transfert dans un logiciel à usage industriel du savoir-faire du projet SINUS en multigrille linéaire par agglomération. L'enjeu est important : les simulations numériques ciblées font appel à des modélisations réalistes (turbulence, combustion) ; les géométries sont complexes et, dans certains cas, à frontières variables (maillages non-structurés déformables) [[19]]. Cette seconde année de l'étude nous a conduit à développer une première version périphérique multigrille parallèle (logiciel N3S-PMG) applicable à la simulation numérique d'écoulements stationnaires turbulents et multiespèces. Cette version a été évaluée sur les problèmes suivants : écoulement stationnaire turbulent mono-espèce dans une chambre à volute (cas test Renault, maillage tétraédrique à 332.000 noeuds et 1.900.000 éléments) et écoulement stationnaire turbulent multi-espèce dans une chambre à combustion de moteur d'avion (cas test Snecma, maillage tétraédrique à 150.000 noeuds et 800.000 éléments). Ces résultats ont notamment été présentés lors de la conférence ECCOMAS98 [[31]].
Participants : Luc Fournier, Hervé Guillard, Stéphane
Lanteri, Yvon Maday (université de Paris VI).
Parmi le grand nombre de méthodes numériques mises au point pour le calcul scientifique, les méthodes multigrilles sont parmi les rares à avoir une complexité optimale. Cependant ce type de méthodes n'est pas forcément très bien adapté aux contraintes liées aux architectures parallèles. Lors de précédents travaux [[23]], nous avons fait apparaître la notion de parallélisme dans une méthode multigrille en utilisant un lisseur simple (relaxation de Jacobi) dont l'efficacité n'est pas altérée par la parallélisation. Il serait néanmoins souhaitable d'utiliser un lisseur à la fois plus robuste et plus efficace. Les méthodes de décomposition de domaine sont naturellement parallélisables et permettent de construire des algorithmes de résolution efficaces et robustes. Nous nous intéressons ici à la construction d'un lisseur par décomposition de domaine reposant sur l'algorithme de Schwarz dans sa formulation additive. Il y a principalement deux points qui doivent être considérés en détails : propriétes de lissage de l'algorithme de Schwarz (analyse spectrale) et résolution locales approchées (le lisseur doit être un ingrédient « économique » du multigrille). Cette étude a été initialisée avec la participation de L. Fournier au CIRM à Marseille dans le cadre CEMRACS98 (Centre d'Eté Mathématique de Recherche Avancée en Calcul Scientifique) du 20 juillet au 28 août 1998.
Participants : Jérôme Francescatto, Alain Dervieux.
La résolution des équations de Navier-Stokes moyennées (RANS)
avec traitement jusqu'à la paroi en maillage non (globalement)
structuré reste un des buts importants à moyen terme des travaux
de l'équipe. Pour atteindre cet objectif en 3D, il faut encore
réaliser quelques percées dans différents domaines : la
construction de maillages étirés, la mise au point
d'approximations et d'algorithmes. Un algorithme porteur d'espoir
dans cette perspective est l'algorithme multigrille par
agglomération anisotrope. Au cours de sa thèse, J.
Francescatto [[13]] a mis au point un tel
algorithme dans le cas 2D. Il s'agit de construire des niveaux
grossiers en agglomérant des cellules du niveau précédent avec
pour contrainte de n'associer que deux cellules partout où un
fort étirement est détecté. L'application à des écoulement
compressibles turbulents modélisés par un
k - 
avec traitement bi-couche a
démontré des performances tout à fait conformes aux
espoirs [[24]]-[[32]]. L'algorithme a montré
aussi son intérêt pour des écoulements instationnaires, notamment
à petit nombre de Mach [[14]].