Projet : SOSSO - Systèmes non linéaires à retards

Les systèmes que nous étudions sont constitués d'une partie linéaire à retard avec en contre-réaction, une non linéarité de type signe ou saturation. Nous recherchons des contrôleurs robustes pour les asservir ou les stabiliser. De tels systèmes peuvent être le siège d'oscillations qu'il s'agit de contrôler ou d'analyser pour des applications en identification.

Commande robuste de systèmes non linéaires à retards

Mots clés : Commande robuste, retard, saturation, signe, boucle à verrouillage de phase, PLL .

Nous étudions la commande robuste de systèmes à retards qui sont équipés de capteurs et actionneurs linéaires et non linéaires, les non linéarités étant de type signe (modèle élémentaire d'une sonde de richesse des gaz tout-ou-rien, dite sonde lambda que nous rencontrons dans nos applications) ou saturation.
Ce problème est posé dans un cadre entrée-sortie L dans lequel différentes notions de stabilité sont considérées à partir des différentes normes ou fonctions de gain définies pour les opérateurs non linéaires (définitions qui deviennent équivalentes dans le cas des opérateurs linéaires).
Nous avons continué cette année, à investiguer le cas de systèmes à retards du type P(s) = e^-shR(s) (où R est la fonction de transfert d'un système linéaire de dimension finie) et avons étendu aux systèmes instables les résultats précédemment obtenus dans le cas où R est Bibo stable. Une paramétrisation de tous les contrôleurs norme-stabilisants a été obtenue : contrairement au cas stable, elle ne contient pas de paramètre complètement libre. Nous avons également analysé la robustesse de ces contrôleurs face à des perturbations sur les facteurs coprimes du système à retard : les marges de robustesse obtenues sont explicites.

Commande de systèmes à retard avec sortie tout-ou-rien

Mots clés : Cycle-limite, retard, fonction signe, Proportionnel Intégral.

Nous avons continué l'étude de la commande du système du premier ordre $\tau$ $\dot{x}$ + x = u, à partir de la sortie "tout-ou-rien" retardée sign x(t - h). Afin d'amener x vers l'origine rapidement, nous proposions une commande proportionnelle-intégrale u = k_psign x(t - h) + k_i $\int_{0}^{t}$ sign x(s - h) ds.

Nous avons poursuivi cette année une étude plus complète de la dynamique du système bouclé. Nous avons obtenu des estimations de la solution robustes vis-à-vis de perturbations du modèle (telles que bruit additif dans l'équation du système, retard variable ou fonction "signe" biaisée par un biais variable). Ces estimations montrent par exemple que les effets d'un bruit additif sur le système peuvent être atténués par une commande proportionnelle-intégrale, si toutefois les bruits sur l'observation (c'est-à-dire sur le retard et le signe) ne sont pas trop importants : le choix de cette commande se révèle alors plus intéressant que u = 0.

D'autre part, nous avons poussé l'analyse du comportement asymptotique, dans l'esprit de travaux de E. et L. Fridman et E. Shustin[Shu95,FSF96]. Pour des systèmes un peu plus généraux $\dot{x}$ = F(x) - signx(t - h) avec sup| F| < 1, il apparaît que le portrait de phase comprend une infinité de cycles-limites, que l'on peut indexer par le nombre V de zéros de x pendant un laps de temps égal au retard h ; tous ces cycles sont instables, à l'exception du plus lent, correspondant à V = 0. Enfin, pour une évolution quelconque, V est fini après un temps fini, et alors V est pair, et V décroît (au sens large) au cours du temps.

Systèmes non linéaires à retards

Résumé :

Commande robuste de systèmes non linéaires à retards

Commande de systèmes à retard avec sortie tout-ou-rien