Participants : Laurent Baratchart, Martine Olivi, José Grimm (Projet SAFIR)
Le problème est l'analogue du cas scalaire où le degré de
McMillan généralise le degré: Soient 
, 
et n un entier ; on cherche une matrice rationnelle de taille
sans pôles dans le
disque unité et de degré de McMillan au plus n qui soit le
plus proche possible de 
dans 
.
Ici, la norme 
d'une matrice est la racine p-ième de la somme des
puissances p-ièmes des normes de ses composantes.
Notre but premier est d'étendre au cas matriciel l'algorithme
d'approximation 
scalaire mis au point ces dernières années.
Rappelons que cette extension avait déja été menée à bien sur le plan théorique. La question de la représentation des matrices de degré de Mc-Millan donné avait finalement été résolue en utilisant la factorisation de Douglas-Shapiro-Shields et les paramètres de Schur (tangentiels) pour paramétrer le facteur intérieur. Cette étude s'est poursuivie cette année et a donné lieu à [27] ainsi qu'à un article soumis pour publication au SIAM J. of Control & Opt. On y décrit une nouvelle formulation de l'algorithme de Schur tangentiel qui a permis d'élucider les questions qui touchent à l'extension différentiable du critère sur les bords du domaine de définition.
C'est sur le plan numérique, cependant, que le progrès a été
le plus net : le prototype écrit à l'aide du logiciel 
lab a été remplacé par un nouveau
logiciel directement écrit en C. Son implémentation a été
effectuée par J. Grimm et utilise la différentiation en mode
direct et inverse afin d'optimiser le temps calcul des dérivées
(travaux de J. Morgenstern). La taille des formules a par
ailleurs nécessité la mise en oeuvre de méthodes de
différentiation automatique. Ce logiciel, baptisé Hyperion (cf.
rapport d'activité du projet SAFIR), fonctionne sur des données
matricielles 
provenant d'expérimentations du CNES, dans le cadre du contrat
qui fait l'objet du paragraphe 3.1.6, et donne à l'ordre 8 des résultats
d'une grande qualité. Un point clé pour monter en ordre et en
taille, sur lequel les efforts devront porter, est la mise au
point d'un critère efficace de changement de carte, car cela
influe considérablement sur la vitesse de l'algorithme. Alors que
la validité d'un paramétrage de Schur dépend de la régularité
d'une matrice de Pick, l'estimation de cette non singularité au
plan numérique mérite réflexion.