Participants : Laurent Baratchart, Martine Olivi
Un contexte classique en identification paramétrique est celui
où on cherche à ajuster un modèle linéaire 
, où u est l'entrée observée et
e un bruit blanc décorrélé de u, à une suite
d'observations 
que
l'on considère comme une réalisation du processus 
. L'erreur linéaire de prédiction
étant donnée par 
, une
méthode courante est de choisir un modèle 
rationnel de degré n de manière à
minimiser l'estimateur de variance :
et on regarde à la limite lorsque N est grand. Des
résultats de consistance sont disponibles dans la littérature qui
assurent que tout argument du minimum de 
converge vers un minimiseur de la variance
dans la classe de modèle. Nous en avons montré cette année une
version différentielle en prouvant que, presque sûrement quand
, la suite 
converge uniformément ainsi que
toute ses dérivées sur tout compact de la variété des systèmes de
degré de McMillan fixé, sous des conditions d'ergodicité faibles
pour u et y. Ceci montre que la minimisation de la
forme asymptotique de l'erreur de prédiction est du même type
(nature et nombre des points critiques) que celle de l'erreur de
prédiction elle--même, et justifie dans ce contexte l'étude des
critères asymptotiques qui sont typiquement des problèmes
d'approximation rationnelle dans 
. Dans le cas particulier où u est un bruit
blanc et 
(méthode
dite d'erreur de sortie), cette propriété se conjugue aux
résultats obtenus les années antérieures pour prouver que si le
processus observé est du type 
avec 
, le
minimiseur de 
est
presque sûrement l'unique point critique, asymptotiquement sur
tout compact, lorsque F est dans un voisinage des matrices
rationnelles de degré n. En dépit de son caractère local
et donc faible, cette consistance est nettement plus forte que
celles établies à ce jour pour ce type de schéma. Dans le cas
scalaire, on peut aussi conclure à une unicité globale pour les
systèmes de relaxation suffisamment stables, par exemple. Plus
généralement, tout résultat d'unicité en approximation
rationnelle 
aurait
sa contrepartie asymptotique en identification paramétrique. Il y
a donc de ce point de vue certains motifs pour étudier les
aspects différentiels de l'approximation rationnelle, et pour
adapter l'approche à la maximisation de vraisemblance. Par
exemple, la propriété de convergence uniforme ci--dessus n'est
pas établie si 
est
remplacé par une moyenne géométrique car l'argument utilise une
famille normale qui deviendrait multivaluée ; il serait
intéressant au futur de l'adapter. Les résultats de cette section
sont consignés dans un rapport qui sera soumis pour publication
prochainement.