Participants : Juliette Leblond, Martine Olivi, Andrea Gombani (LADSEB, Padoue, It.)
Dans la pratique de l'identification, on est souvent amené à
minimiser un critère 
pondéré. En fait, il s'agit probablement là de la méthode la plus
répandue. Lorsqu'il s'agit de systèmes dynamiques et
d'approximation rationnelle, cela équivaut dans un cadre
probabiliste à identifier un système nourri par un processus
aléatoire régulier, le poids étant alors la densité spectrale de
l'entrée ; dans un cadre déterministe, ce poids peut représenter
la fiabilité des mesures selon les fréquences et la foi que l'on
éprouve quant au paradigme rationnel. Numériquement, le poids
sert le plus souvent à modeler les caractéristiques du résultat
(notamment la stabilité) de la même manière que l'on façonne le
critère en synthèse quadratique pour que le résultat soit
conforme à certaines exigences qualitatives. On a considéré cette
année l'extension des résultats obtenus en approximation au cas
où le critère à minimiser est 
, 
étant
une mesure positive finie sur le cercle. Pour que ces problèmes
soient bien posés, il faut que la mesure en question soit
absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue et de
dérivée par rapport à cette dernière inversible dans 
.
L'analogue pondéré de l'approximation dans une bande de
fréquence ayant déja été traitée, nous nous sommes attachés à
l'étude de l'approximation rationnelle pondérée (scalaire, pour
l'instant). L'utilisation d'un système de polynômes orthogonaux
reliés à la mesure 
nous a permis de montrer que le problème de l'approximation
rationnelle pondérée d'une fonction donnée f se ramène à
celui de l'approximation rationnelle en norme 
d'une fonction 
définie à l'aide d'une formule de Cauchy
pondérée. Ces résultats ont été présentés dans [22] et feront l'objet d'une soumission
actuellement en cours de rédaction.
Par ailleurs, nous étudions en collaboration avec A. Gombani (CNR Padoue) l'usage de représentations d'état pour paramétrer les fonctions de transfert. On a pu exprimer le critère de façon simple en termes de réalisation. Le contrôle des pôles des approximants (pour la stabilité) est en particulier facile si on utilise la forme canonique dite de Schwartz (aussi prônée par Hanzon et Maciejowski). Cependant, le calcul du gradient s'avère plus compliqué que pour les paramétrages dans le domaine fréquentiel que nous avons utilisés jusqu'à présent. L'étude en cours pourrait apporter un point de vue nouveau sur ces questions.