Participants : Laurent Baratchart, Edward Saff (Univ. Tampa, USA), Herbert Stahl (TU Berlin, Al.), Franck Wielonsky
Le problème d'approximation rationnelle dans 
, étape de réduction de modèle
dans les techniques d'identification précédentes, s'énonce
ainsi:
Soient 
,
et n un entier ;
on cherche une matrice rationnelle sans pôles dans le disque
unité et de degré au plus n qui soit le plus proche
possible de f dans 
.
Depuis des années, le projet étudie le cas p=2 en se
concentrant sur certains points de grande importance
algorithmique comme la nature et le nombre des points critiques.
En conjugant des techniques de théorie de Morse avec des
estimations analytiques, nous avions notamment fourni un théorème
d'unicité (le premier du genre) pour des fonctions de Stieltjes
(correspondant à des systèmes de relaxation). Une relation entre
le type asymptotique des points critiques et la régularité de la
décroissance des erreurs en interpolation, elle même reliée à la
coprimarité des numérateurs et dénominateurs de ces points, avait
été établie l'an dernier. Un travail qui illustre cette technique
en prouvant l'unicité asymptotique sur trois exemples est
toujours en cours de rédaction en collaboration avec le
professeur Saff. Rappelons que le premier de ces exemples est
celui de la fonction exponentielle, qui utilise des estimées
fines sur l'erreur d'interpolation pour cette fonction qui ont
fait en elles--même l'objet d'une publication. [9]. Le second est un théorème du type
Montessus de Ballore dans le cas 
, qui concerne l'approximation de type 
de fonctions méromorphes dans
une couronne lorsque m devient grand et permet de
retrouver, en principe, les pôles de la fonction ; le troisième
concerne le cas de l'approximation 
sur un disque petit de fonctions dont
l'approximant de Padé n'est pas dégénéré. Ces théorèmes sont
originaux par leur contenu et leur technique de preuve. Nous nous
sommes interessés cette année à l'unicité asymptotique d'un point
critique en approximation rationnelle pour la classe des
fonctions de Stieltjes. Cela fait l'objet d'un travail en
collaboration avec H. Stahl. En relation avec ces études, un
travail portant sur le comportement asymptotique des approximants
de Hermite--Padé de la fonction exponentielle a été soumis pour
publication à J. of Approx. Theory par F. Wielonsky.