Participants : Philippe Laurençot, Jan Sokolowski
Les modèles étudiés ici décrivent la cinétique des transitions
de phase dans un système binaire, par exemple, les situations
phase solide/phase liquide dans un matériau, lorsque l'état
physique du système est décrit par un paramètre d'ordre
(qui est la variable
d'état caractérisant la phase) et par la température 
. Nous avons étudié le modèle
suivant :
où 
est un ouvert
borné de 
et B
désigne la conductivité thermique du matériau considéré.
Lorsque B=1, ce système est le modèle de champ de phase
classique et a été étudié par de nombreux auteurs. Cependant, il
est plus réaliste de considérer que B est une fonction de
, voire très petite
dans l'une des phases. Il s'agit alors d'un système parabolique
dégénéré pour lequel nous obtenons l'existence de solutions
faibles globales en temps sous des hypothèses assez générales sur
F' (en particulier, F' peut être singulière ou
multivoque) [19].
Lorsque c et 
convergent vers 0, nous pouvons montrer, pour
certains choix de F et B, la convergence des
solutions faibles construites précédemment vers une solution
faible de l'équation limite de Cahn-Hilliard dégénérée. Ce
résultat de convergence prolonge un résultat analogue de B. Stoth
(1993) dans le cas non dégénéré (i.e. B=1) et confirme le
lien entre les modèles ci-dessus et les modèles dits de
Cahn-Hilliard comme indiqué par J.W. Cahn et J.E. Taylor.
Enfin, lorsque B s'annule dans une phase, un choix
approprié des paramètres 
, 
et
a et des développements asymptotiques formels semblent
indiquer que le modèle ci-dessus est une approximation de
problèmes à frontière libre du type problème de Stefan à une
phase. La surface 
serait alors une approximation de la frontière libre à l'instant
t, dont la simulation numérique est plus facile à
effectuer. Ces questions de frontière libre sont actuellement en
cours d'étude par plusieurs membres du projet ainsi que des
problèmes similaires pour des modèles isothermes et non
isothermes de transitions de phase dans des alliages binaires
(i.e. deux matériaux A et B pouvant tous les deux exister en
phase solide et liquide) (collaboration avec D. Hilhorst,
Orsay).
On renvoie aussi à [12,56] pour d'autres résultats sur le modèle de Penrose-Fife avec différentes formes du flux de chaleur (collaborations en cours avec J. Sprekels, Berlin et P. Colli, Turin).
Enfin, nous étudions dans [53] des problèmes de contrôle optimal associés aux modèles de Penrose-Fife: y sont abordés les aspects d'existence, de différentiabilité et les conditions d'optimalité.