Participants : Arjan Novruzi, Michel Pierre, Jean-Rodolphe Roche, Jan Sokolowski, Adnan Yassine
Comme expliqué en 3.1.1, lorsque la fréquence du courant imposé est grande, on peut modéliser l'équilibre de la forme à l'aide d'un modèle limite, magnétostatique, obtenu comme "premier" terme dans le développement asymptotique par rapport aux hautes fréquences. La forme d'équilibre obtenue peut alors être interprétée comme forme stationnaire pour une fonctionnelle d'énergie adéquate. Ainsi, la détermination de la forme d'équilibre devient un problème d' optimisation de formes. Il en résulte des algorithmes naturels pour le calcul numérique de cette forme s'inspirant des algorithmes d'optimisation numérique usuels.
Nous avons poursuivi l'implémentation et l'analyse détaillée de méthodes de Newton et Quasi-Newton pour résoudre les équations de Kuhn-Tucker en 2-d et 3-d par rapport à la forme (il y a ici une contrainte de surface ou volume). Nous avons achevé l'analyse 2-d en fixant les calculs de dérivée seconde par rapport au domaine et en comparant Newton et Quasi-Newton du point de vue convergence, précision et complexité (cf. [35]). De plus, nous avons effectué des calculs de valeurs propres du hessien pour analyser la stabilité des formes d'équilibre et comparer avec les estimations théoriques (voir 3.1.3).
Nous avons ensuite mis au point une méthode de Newton pour traiter le calcul de formes 3-d (ex.: bulles liquides en lévitation). Les difficultés génériques dans ces questions sont: la grande taille du problème 3-d, le maillage de la surface, la résolution du problème de Neumann extérieur par des équations intégrales et, bien sûr, le calcul et le maniement des dérivées secondes par rapport au domaine. Celles-ci obligent à des approximations plus régulières. Une étude du poids relatif des diverses composantes de la dérivée seconde nous permet de pouvoir négliger un nombre important de termes ; nous obtenons ainsi pour Newton une complexité de même ordre que pour Quasi-Newton (facteur 2 au plus). Les vitesses de convergence étant nettement plus rapides, on aboutit ainsi à des calculs très performants (voir [57,36]).
Par ailleurs, nous étudions la parallélisation des algorithmes utilisés (l'étude constitue une des opérations du CCH). Ceci a un caractère très général puisqu'un des aspects essentiels est la résolution des équations intégrales de surface qui apparaissent dans de nombreuses autres applications. Des simulations seront réalisées sur cluster et sur la Power Challenge.
Nous abordons également par les mêmes techniques un problème d'identification de fissure dans un corps à partir de mesures thermiques à la frontière. Il peut être formulé en termes d'optimisation de forme et, donc attaqué numériquement par des algorithmes du même type que ci-dessus avec aussi la résolution d'une équation intégrale de surface. Nous effectuons dans [42] les calculs nécessaires de dérivées premières et secondes par rapport au domaine, nous établissons les conditions d'optimalité et nous implémentons le calcul complet d'identification.
Enfin, nous analysons de facon systématique dans [75] le lien entre le gradient discret et l'approximation discrète du gradient continu pour les problèmes d'optimisation de formes considérés ci-dessus. Leurs efficacités sont comparées.
Notons que d'autres algorithmes d'optimisation sont utilisés dans [5], appliqués cette fois au calcul d'écoulements complexes de fluides viscoélastiques. Il s'agit ici de la méthode des tubes de courant qui consiste en un calcul par sous-domaines successifs couplé avec des algorithmes d'optimisation venant de la méthode de la "région de confiance". Notons que cette méthode numérique est très générale et est encore utilisée dans [45,60] pour des questions très différentes liées à l'optimisation numérique discrète.