Problèmes théoriques liés aux formes

Participants : Mohammed Hayouni, Antoine Henrot, Michel Pierre, Elisabeth Rouy

Les problèmes d'optimisation de formes évoqués ci-dessus soulèvent de nombreuses questions théoriques dont l'intérêt va bien au-delà de ces seules applications. Nous continuons à nous intéresser à plusieurs d'entre elles.

• Existence et régularité de formes optimales. Le problème général est le suivant : les résultats d'existence classiques de formes optimales, reposant souvent sur des outils d'analyse fonctionnelle et de théorie de la mesure, fournissent des formes généralement peu régulières, voire seulement des ensembles mesurables de et ce, même si les interprétations physiques laissent penser qu'elles doivent être régulières. Il est donc nécessaire de développer des méthodes systématiques pour prouver la régularité de ces formes, et il y en a encore peu à l'heure actuelle.

  Dans cette direction, nous poursuivons l'étude de la régularité des solutions de l'équation d'état pour divers problèmes d'optimisation de formes dans . Nous avions étendu au cas de dimension quelconque le résultat de M. Crouzeix, obtenu en dimension 2 avec des outils de fonctions complexes et prouvant la régularité Lipschitz de ces solutions (ce qui donne des formes optimales qui sont au moins des ouverts!). Il s'avère que notre approche est non seulement N-dimensionnelle mais s'étend à des opérateurs elliptiques très généraux, même non linéaires (travail en cours de rédaction et qui constitue le sujet de la thèse de M. Hayouni).

  Nous examinons parallèlement l'existence de formes optimales pour des opérateurs d'ordre supérieur (par exemple associé au bi-Laplacien au lieu du Laplacien). Le changement d'ordre introduit des difficultés nouvelles sérieuses.

• Problème de forme inverse - Stabilité: Nous avons achevé (voir [58]) notre étude du problème inverse de forme tridimensionnelle provenant du contrôle des formes des bulles de métal liquide en lévitation dans un champ électromagnétique. La forme de la bulle étant a priori donnée (soit une surface fermée régulière ), il s'agissait de savoir s'il était possible de disposer des inducteurs pour que la bulle prenne exactement cette forme à l'équilibre. Comme expliqué dans les RA précédents, ceci nécessite la résolution, comme problème intermédiaire (intéressant en soi), de l'équation d'Hamilton-Jacobi suivante sur la surface donnée :

  

  où u est la fonction inconnue de dans , || || est la norme euclidienne, le gradient surfacique et f une fonction donnée dépendant de la courbure moyenne de la surface. Il existe toujours (ou presque) des solutions faibles (dites de "viscosité") à cette équation, mais il s'agit ici d'obtenir des solutions régulières. Nous établissons dans [58,37] une caractérisation complète des surfaces à topologie sphérique "admissibles", dans le cas générique où f s'annule en exactement deux points. Il en résulte que, essentiellement, les surfaces de révolution sont formables, mais de petites perturbations peuvent ne pas l'être. Nous poursuivons l'étude pour des équations d'Hamilton-Jacobi plus générales et pour des surfaces à topologie non sphérique.

  Le cas tridimensionnel s'avère donc très différent du cas bidimensionnel, où, pour la version 2-d du même problème, nous avions montré que toute courbe fermée régulière était formable. Par contre, en 2-d, la difficulté apparaît quand on se pose la question de stabilité. Il s'avère que, même en présence de grandes tensions superficielles, de petites perturbations analytiques de cercles, bien que formables peuvent conduire à des équilibres instables. Un travail très complet sur ces questions est rédigé dans [67].

• Existence locale de frontières libres: suite à un cours donné l'an dernier par F. Abergel dans le projet, un travail de rédaction important a été réalisé sur les problèmes à frontières libres pour les écoulements stationnaires de Navier-Stokes. Il est publié dans [46] et doit faire l'objet d'un livre pour les publications de la SMAI. Le thème en est l'existence d'interfaces fluide-air dans certains problèmes hydrodynamiques en régime stationnaire. Typiquement, on connaît trivialement la frontière libre pour des situations géométriques données simples. On s'intéresse à ce qui se passe pour de petites perturbations. On doit donc linéariser le système de Navier-Stokes au voisinage de la solution particulière. On étudie ensuite l'ellipticité de l'opérateur obtenu, en utilisant la théorie des opérateurs pseudo-différentiels pour pouvoir appliquer un théorème des fonctions implicites.