Participants : Bernard Roynette, Denis Talay, Pierre Vallois
En collaboration avec S. Benachour (université Henri Poincaré et projet Numath), D. Talay, B. Roynette et P. Vallois ont étudié le comportement en temps long d'équations différentielles stochastiques non linéaires au sens de Mc Kean. Par exemple, ils ont considéré
où la fonction 
est
impaire et croissante. Cette équation est un modèle possible pour
les systèmes tampons en biologie : si un tel système est
considéré comme un ensemble de particules dans un état
quantitatif donné, sous l'effet d'une perturbation extérieure
, le système va
intuitivement se stabiliser grâce à l'interaction des particules
gouvernée par leur densité de présence et le terme de rappel
.
L'existence et l'unicité d'une solution, la propagation du
chaos sont établies sous des hypothèses raisonnables sur
(
est de type polynômial). D'autre part,
pour 
suffisamment
croissante à l'infini et en zéro, il est montré que la loi de
converge quand
t tend vers l'infini vers une unique probabilité
symétrique. Enfin, des estimations de la vitesse de convergence
sont obtenues grâce aux propriétés d'ultracontractivité de
semi-groupes linéaires associés à (4) en gelant les coefficients de cette
équation.
