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Participants : Pascal Morin, Claude Samson, Jean-Baptiste Pomet (projet MIAOU)
L'étude, [10], menée en collaboration avec J.-B. Pomet du projet Miaou, a consisté à élaborer une nouvelle méthode pour la synthèse de retours d'état instationnaires permettant de stabiliser asymptotiquement l'origine de systèmes sans dérive infiniment différentiables et commandables. La méthode conduit à des retours d'état explicites, continus, partout infiniment différentiables sauf à l'origine, et homogènes. Complétée par des résultats maintenant bien connus sur l'approximation de champs de vecteurs par des champs de vecteurs homogènes, la méthode est générale en ce qu'elle s'applique à tout système commandable sans dérive. L'approche s'inspire de la construction, proposée par Sussmann et Liu, de commandes en boucle ouverte « fortement oscillantes » permettant d'approcher aussi près que l'on veut toute solution du système « étendu » obtenu en ajoutant au système de départ les crochets de Lie des champs de vecteurs qui permettent d'engendrer l'Algèbre de Lie du système. L'intérêt du système étendu réside dans le fait qu'il est simple à commander et à stabiliser. La méthode permet grosso modo de déduire un retour d'état instationnaire exponentiellement stabilisant à partir de la connaissance d'un retour d'état statique classique stabilisant exponentiellement l'origine du système étendu.
L'intérêt de la méthode est qu'elle fournit une autre démonstration d'un résultat d'existence bien connu dû à Coron en 1992, tout en conduisant à des lois de commande complètement explicites (pas de résolution d'équations différentielles partielles, en particulier) obtenues en exploitant uniquement la structure de l'Algèbre de Lie du système. Son application à des systèmes de dimension supérieure à trois indique cependant que les commandes obtenues de cette façon sont sensiblement plus complexes que celles pouvant être obtenues par d'autres méthodes de synthèse moins générales, et que le recours à des fréquences élevées pour la partie instationnaire de la commande n'est ni nécessaire, ni généralement souhaitable, au niveau des applications. Bien qu'intéressante sur le plan conceptuel, son intérêt est donc probablement moindre sur le plan applicatif. Ceci explique que nous ayons continué d'étudier en parallèle d'autres méthodes de synthèse.
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