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Participants : Laurent Baratchart, Andrea Gombani (CNR Padoue, It.), Martine Olivi, José Grimm (Projet SAFIR)
Mots-clés : approximation rationnelle, matrice intérieure, espace à noyau reproduisant, théorie de la réalisation
L'approximation matricielle est indispensable pour traiter de
systèmes à plusieurs entrées et sorties (bizarrement appelés
multivariables) et engendre des difficultés additionnelles
substantielles au plan théorique et algorithmique. Le problème
est un analogue du cas scalaire où le degré de McMillan
généralise le degré : Soient 
,
et n un
entier ; on cherche une matrice rationnelle de taille
sans pôles dans le
disque unité et de degré de McMillan au plus n qui soit la
plus proche possible de 
dans
.
Ici, la norme 
d'une matrice est la
racine p-ième de la somme des puissances p-ièmes
des normes de ses composantes.
Rappelons que l'algorithme d'approximation 
scalaire mis au point ces dernières années a été
généralisé au cas matriciel. Le problème majeur rencontré dans
cette extension réside dans la représentation des matrices de
degré de McMillan donné. Le facteur intérieur dans la
factorisation de Douglas-Shapiro-Shields, qui remplace le
dénominateur du cas scalaire, varie alors non plus dans un ouvert
de 
, mais dans une
variété. Cette structure autorise la mise en oeuvre des outils
différentiels utilisés dans le cas scalaire. En pratique, il faut
exhiber un atlas de cartes (paramétrages valables dans un
voisinage donné d'un point) satisfaisant pour l'application que
l'on a en vue. L'algorithme de Schur tangentiel nous a fourni de
tels paramétrages et a permis l'implémentation d'un algorithme
d'approximation rationnelle. Celle-ci est intégrée au logiciel
hyperion qui a été testé sur des données matricielles
provenant
d'expérimentations du CNES, dans le cadre du contrat qui fait
l'objet du paragraphe 3.1.8 et
donne à l'ordre 8 des résultats d'une grande qualité. Ceci-dit,
un point-clé reste à élucider : le choix le plus efficace de
la carte ou paramétrage local en un point donné ; ce choix
influe de façon déterminante sur le conditionnement numérique des
calculs et par là sur la taille des problèmes que l'on peut
traiter.
Un paramétrage alternatif est par ailleurs à l'étude en collaboration avec A. Gombani. Il s'agit d'utiliser comme cartes certaines représentations d'état qui sont populaires chez les automaticiens. Le critère et le gradient s'expriment de façon simple en termes de réalisation en faisant intervenir le grammien d'observabilité. Les calculs se généralisent aisément au cas d'une approximation pondérée, ce qui contribue à leur donner de l'intérêt. Ces résultats ont fait l'objet de [9]. Dans le cas scalaire, un algorithme a été implémenté en Matlab dans le cadre du stage de N. Bergevin. Il utilise la forme canonique dite de Schwartz (aussi prônée dans ce contexte par Hanzon et Maciejowski) pour laquelle le grammien d'observabilité est égal à l'identité. D'autres formes canoniques d'état sont aussi à l'étude, en particulier celles obtenues à partir des paramétrages de Schur.
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