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Approximation méromorphe de fonctions de transfert dans une bande de fréquence

Participants : Laurent Baratchart, José Grimm (Projet SAFIR), Juliette Leblond, Jonathan Partington (univ. Leeds, GB), Fabien Seyfert

Mots-clés : approximation méromorphe, identification fréquentielle, problème extrémal

 

Le projet travaille depuis plusieurs années à l'élaboration de modèles de convolution linéaires stables à partir de données fréquentielles dans une bande passante et d'un gabarit de référence à l'extérieur de ; la période qui nous occupe a vu un élargissement de la classe des modèles à des instabilités de dimension finie, c'est-à-dire à des opérateurs dont le noyau a pour transformée de Laplace une fonction de transfert méromorphe ayant dans le demi-plan droit un nombre fini de pôles. On se ramène par transformation conforme au cas du cercle unité T, l'intervalle de l'axe imaginaire correspondant alors à un arc de cercle K. Les modèles considérés à ce stade étant de dimension infinie, nous considérons uniquement le cas scalaire et abordons le problème composante à composante si le système a plusieurs entrées ou sorties. Nous nous restreignons donc à l'approximation de fonctions à valeurs complexes.

Si l'on note l'espace de Hardy du disque unité D et l'ensemble des fonctions rationnelles possédant moins de N pôles dans D, l'appartenance de la fonction de transfert à caractérise par l'intermédiaire de l'exposant p les propriétés de stabilité imposées au modèle en terme de gain entrée-sortie, cependant que N est le nombre maximal de pôles instables autorisé. On cherche donc une fonction de , prenant sur K des valeurs proches des données expérimentales et satisfaisant sur aux exigences de gabarit, de sorte que la question s'énonce comme une généralisation d'un problème de type Adamjan-Arov-Krein (AAK) :

(P)  Soient , , K un arc du cercle unité T, , et M>0 ; on cherche une fonction telle que la norme de la différence dans n'excède pas M et telle que g - f soit de norme minimale dans .

Il s'agit là d'une extension au cas méromorphe des problèmes extrémaux bornés relatifs à l'approximation analytique (cas où N = 0) étudiés ces dernières années dans le projet. Rappelons que, pour N = 0 et , le problème (P) se ramène implicitement à un problème extrémal classique sur T ; quand , l'existence et l'unicité de g (établies il y a déjà longtemps mais à paraî tre depuis peu) font l'objet d'un article (L. Baratchart and J. Leblond, Hardy approximation to L^p functions on subsets of the circle with 1 =< p < infty, à paraître dans Constructive Approximation.) qui fournit aussi une caractérisation explicite de la solution si p=2, et un lien inattendu avec les formules de reconstruction de Carleman. Toujours pour N = 0, mais cette fois quand , nous avions montré dans [1] (publié cette année seulement) l'équivalence entre (P) et un problème de Nehari classique, et conclu ainsi à l'unicité de g lorsque la fonction concaténée , qui vaut f sur K et sur , appartient à . Rappelons aussi que des schémas de résolution du problème (P) ont été élaborés et implémentés dans le passé pour N = 0, et p = 2 ou .

Cette présentation faite, nous décrivons à présent les résultats obtenus cette année. Pour N=0 et , une généralisation du théorème de Nehari a été établie afin résoudre le problème extrémal classique auquel se ramène (P). Elle exprime la solution en termes d'un vecteur maximisant d'un opérateur de Hankel non-linéaire pour le calcul duquel un algorithme de point fixe a été développé. Il est remarquable que cette généralisation concerne aussi l'approximation méromorphe (cas où N>0), donnant de la théorie AAK une version non-linéaire via le principe du minimax de Ljusternik-Schnirelman. Ceci permet de relier le problème classique de AAK ( ) à celui de l'approximation rationnelle et pourrait ouvrir une voie de recherche de ce fait. Aucun algorithme n'existe encore cependant si N>0. Ceci participe de la thèse de F. Seyfert et a donné lieu à une communication [7]. Un article à ce sujet est en cours de rédaction.

Très relié au problème (P), et attrayant pour décider de la validité de l'approximation linéaire dans la bande passante considérée, se trouve le problème de complétion suivant : (P')  Soient , , K un arc du cercle unité T, , et M>0 ; on cherche une fonction telle que la norme de la différence dans n'excède pas M et que la distance de à soit minimale dans .

Dans le cas et pour , les problèmes (P) et (P') ont été résolus. Une fois établie l'existence, l'unicité et une caractérisation de la solution de (P) lorsque sont obtenues via l'équivalence entre ce dernier et un problème AAK classique, ceci généralisant le cas N = 0. Nous montrons alors comment (P) et (P') sont reliés entre eux. Ces liens nous permettent de construire une solution à (P') en résolvant itérativement (P) pour une famille de fonctions dépendant de paramètres implicites en les données ainsi que d'établir l'unicité de la solution de (P'), toujours sous l'hypothèse que . Ces résultats s'appliquent à des extensions en données partielles de problèmes d'interpolation du type Nevanlinna-Pick et Carathéodory-Fejér. Ce travail en collaboration avec J.-R. Partington a été soumis pour communication à ECC 97. Un article est en cours de rédaction.

La détermination du gain statique, c'est-à-dire de la valeur à l'infini de la fonction de transfert, joue un rôle particulier dans ce contexte. En effet, ce terme de transmission directe entre l'entrée et la sortie n'est pas localement borné dans la réponse impulsionnelle d'un système linéaire et rend impossible, s'il n'est pas nul, l'appartenance de la fonction de transfert à pour . Pour identifier cette valeur, importante pour la qualité de la modélisation, on procède actuellement au cas par cas, soit que l'on connaisse le terme de transmission pour des raisons physiques (en particulier lorsqu'il est nul), soit que l'on ajuste sa valeur pour réduire les oscillations du modèle à l'infini. C'est typiquement le cas des données concernant des filtres hyperfréquences que nous a fournies le CNES et dont il sera question plus loin : les voies de transmission sont strictement propres pour des raisons physiques (le filtre ne transmet rien aux hautes fréquences) cependant que les voies de réflexion restituent les fréquences infinies avec un coefficient voisin de 1 mais qui n'est pas exactement connu (car il dépend de pertes occasionnées par des conducteurs que l'on ne mesure pas parfaitement). Déterminer de manière plus systématique ce gain statique nécessite soit d'obérer la discontinuité structurelle des solutions de (P) aux extrémités de K, soit d'utiliser la convergence faible de ces solutions pour estimer la moyenne des oscillations à l'infini. Nous avons pour l'instant considéré la première manière en résolvant le même problème dans un espace de Hardy-Sobolev. Pour p=2, la théorie se généralise aisément et l'implémentation, qui s'insère dans la thèse de F. Seyfert, semble efficace sur les données de filtres hyperfréquences que nous étudions (cf section 3.1.8 ). Notons pour finir que, dans le cas fréquent où un système est convenablement approché par un retard superposé à un transfert , la valeur à l'infini stricto sensu n'existe pas puisqu'il y a un terme singulier dans le facteur intérieur de la fonction de transfert. Résoudre (P) pour une norme de Hardy-Sobolev en minimisant en outre sa valeur par rapport à des translations fréquentielles de f dans la bande passante est une manière d'aborder la détermination du retard que le projet se propose d'aborder.

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