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Participants : Laurent Baratchart, Nick Dudley Ward, Juliette Leblond, Jonathan Partington (univ. Leeds, GB)
Mots-clés : problème inverse, approximation méromorphe
Les techniques d'approximation méromorphes esquissées au
paragraphe précédent sont susceptibles d'applications bien plus
larges que l'identification des opérateurs de convolution
. L'analycité des
modèles peut provenir, suivant les cas, de la transformation de
Fourier appliquée à une EDP linéaire ou du caractère harmonique
de l'équation elle-même par exemple en thermique ou en
électrostatique. C'est par cette deuxième situation, plus simple,
que nous avons entamé la diversification de nos applications, et
nous décrivons ci-après le cas de la détection de fissures.
La localisation de fissures dans un matériau, à l'aide de mesures thermiques ou électrostatiques sur sa frontière, est un problème inverse classique pour étudier la fatigue des structures ou détecter les fuites, par exemple. Cependant, aucun algorithme efficace n'existe aujourd'hui pour détecter l'emplacement de telles fissures car l'intégration numérique du problème inverse est très instable. La présence de cavités (``pailles'') dans un objet se traduisant par un défaut d'analycité de la solution du problème de Dirichlet-Neumann associé, elle peut être diagnostiquée en utilisant la théorie d'Adamjan-Arov-Krein ou, lorsque les mesures ne sont disponibles que sur une partie de la frontière, son extension présentée en section 3.1.1. Cette approche originale de la question en est à ses débuts au sein du projet et pose la question de savoir si les pôles et les zéros des approximants méromorphes s'accumulent au voisinage des fissures éventuelles ; elle se couple plaisamment avec l'étude, active en théorie de l'approximation, des ensembles d'accumulation des pôles et des zéros des approximants rationnels.
La généralisation de ces problèmes à la dimension infinie (fonctions à valeurs opérateurs) est aussi envisagée à un peu plus long terme pour ses applications à la tomographie ou la détection de mines, par exemple. Nous sommes, pour ces questions, en contact avec le projet CAIMAN de l'INRIA-Sophia.
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