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Approximation rationnelle scalaire

Participants : Laurent Baratchart, Juliette Leblond, Franck Maurin, Martine Olivi, Edward Saff (univ. Tampa, USA), Herbert Stahl (TU Berlin, Al.), Frédéric Viry, Franck Wielonsky

Mots-clés : approximation rationnelle, étude des points critiques, espace de Hardy pondéré, polynôme orthogonal  

L'approximation rationnelle est une étape fondamentale de réduction du modèle en identification de systèmes dynamiques qui soulève de nombreuses difficultés. Dans le cadre présent, le problème s'énonce ainsi :

Soient , et n un entier ; on cherche une fonction rationnelle sans pôles dans le disque unité et de degré au plus n qui soit le plus proche possible de f dans .

Les valeurs les plus importantes de p sont, comme nous l'avons indiqué en introduction, p=2 et , mais il n'existe de toute façon pas d'algorithme démontrablement convergent pour une quelconque valeur de p et le projet, qui a considérablement investi dans le cas p=2, est concepteur d'un algorithme dont la convergence vers un minimum local est garantie et qui est le seul à jouir de cette propriété. Afin de globaliser ce résultat, ce qui serait une avancée algorithmique majeure dans le domaine, nous étudions le nombre et la nature des points critiques en nous concentrant, comme c'est l'usage en approximation, sur des types particuliers de fonctions qui ont valeur d'exemples en vue de dégager des classes de propriétés générales.

En conjuguant des techniques de théorie de Morse (stratifiée) avec des estimations analytiques, nous avions notamment fourni un théorème d'unicité (le premier du genre) pour des fonctions de Stieltjes (correspondant à des systèmes de relaxation) dont le support de la mesure reste compris dans un intervalle dont la longueur est bornée par une certaine constante absolue (ceci peut s'interpréter comme une contrainte de stabilité). Si on affaiblit la propriété d'unicité en celle d'unicité asymptotique (c'est-à-dire unicité pour un ordre d'approximation assez grand), cette borne sur le support a été améliorée lors d'un travail commun avec H. Stahl qui est en cours ; les ingrédients en sont, outre les aspects topologico-différentiels précédents, la détermination de la mesure limite associée aux pôles des points critiques (qui est la mesure d'équilibre d'un certain potentiel), une formule d'erreur due à V. Totik (provenant d'asymptotiques forts en poids variable pour des polynômes orthogonaux), et l'interprétation de la dérivée seconde comme un opérateur de Hankel pondéré qui permet de faire le lien avec la théorie classique de l'interpolation et AAK. Cette interprétation a été développée originellement en collaboration avec le professeur Saff dans le cadre d'une convention NSF-INRIA, et fournit le premier critère d'unicité un peu général pour ce style de problèmes. Il a été illustré sur trois exemples dans [18] (et aussi L. Baratchart and E. B. Saff and F. Wielonsky, A criterion for uniqueness of a critical point in H² rational approximation, à paraître dans Journal d'Analyse) et a fait l'objet de la communication [6]. Le premier de ces exemples est celui de la fonction exponentielle, qui est le prototype d'une fonction de transfert dont la réponse décroit régulièrement ; le second est un théorème du type Montessus de Ballore dans , pour l'approximation de type (m,n) de fonctions méromorphes dans une couronne lorsque m devient grand, et qui permet de retrouver les pôles de la fonction comme en approximation de Padé, mais avec une propriété extrémale supplémentaire pour l'approximant ; le troisième exemple, enfin, concerne l'approximation sur un disque petit de fonctions dont la matrice de Toeplitz n'est pas dégénérée, et va servir à initialiser des algorithmes de continuation. En relation avec les estimées d'erreur nécessaires pour élucider le premier de ces exemples, un travail portant sur le comportement asymptotique des approximants de Hermite-Padé de la fonction exponentielle a fait l'objet d'une publication (F. Wielonsky,Asymptotics of diagonal Hermite-Padé approximants to H², àparaître dans Journal of Approximation Theory).

L'introduction d'une pondération en fréquence constitue un autre développement qui s'est intensifié cette année, autant pour la nécessité qu'il y a de pondérer les données expérimentales (par la densité spectrale du bruit dans un contexte stochastique c'est-à-dire pour relativiser le comportement du modèle là où on a peu d'information dans un langage moins savant mais plus universel) que pour les améliorations algorithmiques que l'on en espère. À ce sujet, il est intéressant de noter que la démarche la plus répandue pour l'identification fréquentielle dans la pratique de l'ingénieur consiste à poser une minimisation aux moindres carrés et à en pondérer les termes jusqu'à obtenir, si on le peut, un résultat convenable par les méthodes d'optimisation dont on dispose. C'est la théorie de cette pratique, afin d'en tirer une méthode, que l'on ambitionne de faire ici. On est donc conduit à minimiser un critère du type

où est une mesure positive finie sur T. Nous avons étendu certains des résultats obtenus en approximation au cas où le problème est :

 

pour , où est un polynôme de degré inférieur ou égal à m, et un polynôme monique de degré inférieur ou égal à n sans racines dans le disque unité.

Pour qu'un tel problème (m,n) soit bien posé, il faut que soit absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue et de dérivée inversible dans  ; nous avons considéré pour l'instant le cas où cette dérivée est de la forme pour un polynôme w de degré d. Lorsque m = n-1, on peut construire explicitement une base de polynômes orthogonaux associés à la mesure et relier les solutions du problème (1 ) à celles d'un problème non pondéré. L'algorithme de recherche des minima locaux mis au point dans le cas non pondéré, fondé sur des méthodes de gradient et de quasi-Newton sur une variété compacte qui exhibe une structure récursive par rapport au degré de l'approximant, se généralise alors au cas pondéré. Ces résultats ont été rassemblés dans [19] et ont fait l'objet d'une soumission pour publication à MCSS ainsi que d'une proposition de communication à ECC 97. Lorsque le poids est défini par un polynôme w de degré 1, les solutions sont données par un changement de variables relativement simple à partir de celles du problème sans poids ; un tel poids accroit l'importance des fréquences autour de 0 ou de et peut être utile lorsqu'on dispose de données dans une telle bande de fréquences ; ceci a fait l'objet des stages de F. Viry et F. Maurin.

Dans le cadre de notre collaboration NSF-Inria, nous avons aussi abordé cette année l'étude de (1 ) pour (le cas m > n + d - 1 se ramenant à celui où les approximants sont du type (n + d - 1,n) comme cela est décrit pour le problème sans poids dans l'article à paraître - L. Baratchart and E. B. Saff and F. Wielonsky, A criterion for uniqueness of a critical point in H² rational approximation, à paraître dans Journal d'Analyse. ). Le but de ce travail est d'étendre à (1 ) certains résultats connus dans le cas non pondéré. En particulier, nous avons établi la normalité (tous les solutions de (1 ) sont de degré égal à n sauf si f est une fraction dont le dénominateur est de degré strictement inférieur à n) et avons commencé l'étude de la ``consistance'' (unicité du point critique lorsque f est elle-même rationnelle de type (m,n)) ; nous avons prouvé cette dernière propriété pour m = n + d - 1 et m = n + d - 2. Nous projetons, d'une part, de généraliser au cas l'algorithme de recherche des minima évoqué ci-dessus disponible à ce stade pour m = n-1 et, d'autre part, d'étudier un certain nombre de questions théoriques (propriétés asymptotiques des points critiques, relations avec les problèmes d'interpolation) en se servant du poids comme d'un paramètre de conception pour l'algorithme. Par exemple, dans le cas , il est clair que les considérations de théorie de Morse sur les points critiques seront encore vraies dans le cas pondéré et le problème de savoir si l'on peut choisir le poids de sorte que l'on ait unicité, (version peu classique de l'input design ) devient fort intéressant.

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