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Participants : Saïd Benachour, Mimoun Benmimoun, Philippe Laurençot, Pierre Vuillermot
Un investissement important a lieu au sein du projet sur l'étude du comportement asymptotique pour différents modèles d'évolution non linéaires, soit par des méthodes géométriques de systèmes dynamiques, soit par des méthodes d'estimations EDP, soit le plus souvent par une association des diverses techniques, avec la mise en évidence d'attracteurs et de leurs propriétés qualitatives.
A partir de méthodes géométriques, nous effectuons l'analyse fine du comportement asymptotique d'équations de type parabolique semi-linéaire déterministes et stochastiques. A citer cette année, l'élucidation complète de la structure de l'attracteur global pour une classe d'équations paraboliques du type d'Itô, ainsi que le calcul et/ou l'estimation d'exposants de Liapounov. Tous les résultats sur ces questions peuvent être trouvés dans [10, 11, 14, 15, 16, 52].
Un point important d'intérêt commun avec le projet OMEGA
concerne certaines équations aux dérivées partielles non
linéaires. Celles-ci interviennent naturellement pour décrire les
densités de probabilités des processus non linéaires. L'étude
stochastique utilise souvent des résultats connus sur les EDP non
linéaires. Inversement, les méthodes probabilistes fournissent
des outils très fins pour décrire les propriétés des solutions.
Citons par exemple
- la description de la solution fondamentale de l'équation de
diffusion :
à l'aide d'une formule probabiliste et l'étude du comportement
du tourbillon dans les équations de Navier-Stokes en dimension 2
sur un ouvert : les phénomènes de création et de disparition
de la vorticité au bord sont décrits à l'aide d'un processus
stochastique. Nous renvoyons à [5, 7, 8, 6, 9] pour tous ces résultats.
- Comportement asymptotique pour des EDP dans 
: nous avons caractérisé le profil dans
lorsque 
des solutions positives au sens large de
suivant les valeurs de 
et
, 
. Des estimations de taux de décroissance sont
obtenues, ainsi que l'existence et l'unicité de solutions de (1)
avec donnée initiale une masse de Dirac ([25, 26, 63, 64, 66] ). L'extension de ces
résultats au cas de la dimension supérieure est en cours. Voir
aussi [17, 19, 28] pour d'autres résultats de
comportement asymptotique.
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