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Approximation de prix d'options américaines

Participants : David Chevance

Mots-clés : mathématiques financières, option américaine

D. Chevance a poursuivi son travail sur l'approximation des solutions des équations différentielles stochastiques rétrogrades introduites par Pardoux et Peng, qui fournissent une interprétation probabiliste originale à certains sytèmes d'équations aux dérivées partielles paraboliques quasi-linéaires par exemple, et qui ont un lien naturel avec certains problèmes d'évaluation d'options en mathématiques financières.

Après avoir étudié le problème de la discrétisation de ces équations dans le cas markovien, il s'est intéressé aux approximations de Macmillan, et Barone-Adesi et Whaley pour le prix d'une option américaine dans le modèle de Black et Scholes.

Dans ce modèle, il existe une probabilité ``risque-neutre'' et un mouvement brownien sous cette probabilité, tels que le prix de l'action vérifie l'E.D.S.:

où r est le taux d'intérêt sans risque, la volatilité de l'action et T l'échéance de l'option. Dans ce modèle, le prix d'un put américain sur l'action, de prix d'exercice K est donné par la solution unique de l'équation différentielle stochastique rétrograde réfléchie

où est la valeur intrinsèque du put. La solution doit être adaptée par rapport à la filtration brownienne.

L'approximation de Macmillan, et Barone-Adesi et Whaley donne une formule analytique qui approche , en fonction de r, , K et T et . On sait déjà que cette formule pour donne la valeur exacte du prix d'un put perpétuel (limite de quand T tend vers ).

Le travail en cours semble pouvoir établir par ailleurs que l'erreur relative de l'approximation tend vers zéro exponentiellement vite lorsque tend vers 0, tous les autres paramètres étant constants.