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Homogénéisation en milieu aléatoire
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Participants : Antoine Lejay, Etienne Pardoux
Mots-clés : équation différentielle stochastique, équation aux dérivées partielles à coefficients aléatoires, milieux aléatoires
Un objectif de cette thèse est d'établir des résultats d'homogénéisation pour des EDP dont l'opérateur s'écrit sous « forme divergence », par une méthode probabiliste faisant intervenir les processus de Dirichlet. L'opérateur s'écrit sous la forme :
Dans le cas où a est de classe 
, le processus correspondant est une diffusion « classique »
solution d'une EDS à coefficients localement lipschitziens. Le
but du travail est de considérer des cas où a est moins
régulier, quitte à supposer que la matrice a est non
dégénérée ( 
).
On regarde dans un premier temps le cas où la matrice des
coefficients a est de classe sur
des cubes, mais possède des discontinuités à travers des
sous-espaces affines de codimension 1. Cet exemple est motivé par
le travail présenté au paragraphe 3.1.5 sur l'homogénéisation locale
d'une EDP à coefficient qui varie assez rapidement en espace. Le
processus de Dirichlet correspondant peut s'écrire comme la
solution d'une EDS avec terme de temps local, du moins si les
sauts de a sont bornés par 1, cas auquel on peut toujours
se ramener en pratique. Cet exemple suscite un travail original
sur cette classe nouvelle (dans le cas de la dimension supérieure
à 1) d'EDS. Son intérêt est de fournir un bel exemple de
processus de Dirichlet plus général que les diffusions usuelles,
mais pour lequel on dispose d'une représentation probabiliste
très maniable.