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Méthodes numériques en homogénéisation

  Participants : Hervé Bernier, Fabien Campillo, Frédéric Cérou, Arnaud Kerjean, Elisabeth Remy

Mots-clés : équation aux dérivées partielles à coefficients aléatoires, milieux aléatoires, algorithme numérique, algorithme parallèle, analyse numérique, approximation, calcul scientifique

Le problème numérique considéré ici est celui du calcul de coefficients effectifs. Considérons l'équation elliptique avec opérateur sous « forme divergence » :

 

où est une matrice uniformément elliptique et aléatoire (et possédant des propriétés d'ergodicité). Il y a homogénéisation lorsque (en un sens à définir), où est solution de :

où est une matrice uniformément déterministe. Dans beaucoup d'applications -- du moins celles considérées ici -- la matrice est constante (ne dépend pas de la variable d'espace). Les coefficients de la matrice sont appelés les coefficients effectifs. Il existe de nombreux résultats mathématiques assurant la propriété d'homogénéisation et l'existence de la matrice . Mais, hormis quelques cas, il n'existe pas de formule explicite de cette matrice. Les méthodes numériques visent à approcher ces coefficients.

Une approche consiste à considérer des marches aléatoires sur des structures régulières (échiquiers) dont le comportement s'identifie à celui de la solution de l'équation (1 ). Le problème est de déterminer les probabilités de transition de ces marches aléatoires ; plusieurs options sont possibles, il s'agit alors d'analyser le comportement limite (quand la maille de la grille tend vers 0) de la loi de ces processus. Les coefficients effectifs sont alors approchés par des fonctionnelles de ces marches. L'analyse s'appuie sur l'ergodicité de la matrice considérée.