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Analyse du comportement asymptotique de la diffusion effective pour un opérateur aléatoire aux différences par méthodes de percolation

  Participants : Fabien Campillo, Frédéric Cérou, Andrey Piatnitski, Elisabeth Remy

Mots-clés : équation aux dérivées partielles à coefficients aléatoires, milieux aléatoires, marches aléatoires

Nous souhaitons trouver dans le cas discret des résultats analogues au cas continu en ce qui concerne le comportement du coefficient homogénéisé d'un milieu aléatoire de type damier.

Soit . On définit la famille de variables indépendantes par :

est la probabilité critique à partir de laquelle un amas infini de apparaît.

Nous effectuons une marche aléatoire sur ce damier, avec comme probabilité de transition :

L'opérateur aux différences finies correspondant à cette marche est :

avec fini. L'opérateur homogénéisé est : , et, grâce à l'isotropie du milieu, la matrice peut s'écrire sous la forme : En utilisant une formulation variationnelle du coefficient homogénéisé, ainsi que quelques résultats provenant de la théorie de la percolation, on montre que : si alors (c'est-à-dire que quel que soit , le coefficient effectif sera strictement positif) et si alors .