Projet : IS2 - Estimation non paramétrique

Projet : IS2

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Sous-sections

Estimation non paramétrique

Identification des systèmes dynamiques non linéaires

Participants : Bernard Delyon, Anatoli Iouditski.

Les algorithmes d'approximation stochastique dans le cas où le paramètre inconnu $\theta$ est de grande dimension sont un sujet de recherche intéressant. L'analyse de ces méthodes permet de résoudre le problème de fusion fonctionnelle suivant, qui est un problème d'estimation non paramétrique en grande dimension: on possède n observations (y₁,...y_n) d'un processus satisfaisant

y_k = f (y_{k - 1},..., y_{k - d}) + b_k

où b_k est un bruit et f est une fonction de R^d dans R; il s'agit de trouver le meilleur estimateur de f comme combinaison convexe de M fonctions f₁,..., f_Mdonnées à l'avance (typiquement M est très grand et la famille (f_i)est fortement non orthogonale). Nous proposons un algorithme d'approximation stochastique qui donne des approximations de f^* (la meilleure combinaison convexe) avec une vitesse ``minimax'' qui ne peut être améliorée de façon significative. Notons que la solution obtenue est parcimonieuse au sens où assez peu de fonctions interviennent dans la solution finale. Ces résultats ont été généralisés dans le cadre de la prédiction non paramétrique de dimension infinie d'une série temporelle mélangeante [[37]]. Dans le cadre du stage de magistère de Carine Hue (université de Rennes) nous avons appliqué cette approche pour la commande adaptative. Les premiers résultats encourageants permettent d'obtenir une alternative viable aux algorithmes de commande ``neuronale".

Commande adaptative

Participant : Anatoli Iouditski.

Une partie importante de la théorie de l'estimation statistique concerne l'établissement des limites intrinsèques de performances des algorithmes, et, par conséquent, fournissent une caractérisation pertinente du problème d'estimation en question; ils donnent ainsi une échelle absolue d'optimalité pour toutes les techniques qui sont proposées pour la résolution de ce problème. Par rapport aux problèmes classiques d'estimation stochastique, le problème de la commande adaptative est assez singulier: il possède un degré de liberté supplémentaire qui est la commande. Nous avons continué, en collaboration avec des chercheurs de l'IPU (Institute for Control Science) de Moscou, l'étude des algorithmes adaptatifs de commande pour des systèmes dynamiques non linéaires. Des nouveaux algorithmes de commande ont été proposés et leur efficacité a été établie [[17]].

Estimation de paramètres macroscopiques

Participant : Anatoli Iouditski.

Dans un bon nombre de problèmes de modélisation non paramétrique appliqués à la finance, il est intéressant d'établir une estimation de paramètres macroscopiques ou spaciaux de modèle inconnu. Un exemple classique de ce type est fourni par le problème d'estimation de l'indice spacial dans le modèle de type ``single-indice". Nous proposons [[36]] une nouvelle méthode d'estimation du coefficient d'indice dans un modèle ``single-indice", qui est basée sur des améliorations itératives de l'estimateur de la derivée moyenne. L'estimée qui en résulte est $\sqrt{n}$ -consistante.

Footnotes

...Delyon: projet SIGMA2, Irisa

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