Projet : META2

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Sous-sections

   
Mathématiques Financières

Couverture en un nombre fixé d'interventions



Participants : Christophe Patry, Agnès Sulem.

Le problème est la couverture d'une option dans le cas où seulement un nombre fixé d'ajustements de portefeuille n'est autorisé sur la période considérée. Le marché est imcomplet ; on ne peut plus dupliquer l'option. L'objectif est de déterminer la stratégie qui permet d'obtenir à la date déchéance de l'option, un portefeuille dont la valeur est le plus proche de la valeur de l'option.

Le nombre d'interventions étant fixé, on cherche à déterminer les instants optimaux de couverture et les compositions de portefeuille associées.

On définit ainsi un problème de contrôle stochastique, où les variables d'état sont les richesses détenues dans chaque actif et le prix de l'actif risqué et Les variables de contrôle sont les instants de couverture et les montants des transactions correspondantes.

On considère un critère à optimiser (par exemple le risque quadratique). La fonction valeur un (qui représente le coût lorsque n transactions sont autorisées) est solution d'une inéquation variationnelle (I.V.) avec une fonction obstacle dépendant de un - 1.

La résolution de cette I.V. permet de déterminer pas à pas la politique optimale. Le cas n = 1 (une seule transaction autorisée) a été résolte cette année. L'etude de l'I.V. est menée en utilisant la notion de solution de viscosité.

Par la suite, on regardera le problème quand n tend vers l'infini, et on espère retrouver les résultats connus lorsqu'il est possible de faire des transactions en continu. On s'interessera notamment à la vitesse de convergence, et on comparera les résultats obtenus avec ceux où la couverture a lieu à des dates déterministes.

Processus Stables et Pricing d'options



Participants : Arnaud Tisseyre, Agnès Sulem.

Dans le cadre des travaux concernant l'utilisation des processus stables en finance, nous développons un modèle exponentiel de valorisation d'options simples (call européens) en s'appuyant sur le cas gaussien. La mise en place de ce modèle s'inscrit après des travaux théoriques sur les processus eux-mêmes (générateur infinétésimal par exemple).

Nous avons étudié la possibilité de définir une généralisation de la variable aléatoire d'Ito dans le cas des processus de Lévy, ce qui s'écrit sous la forme:

 
X(T) = X(t) + $\displaystyle \int_{t}^{T}$f (s,$\displaystyle \omega$)ds + $\displaystyle \int_{t}^{T}$g(s,$\displaystyle \omega$)dL$\scriptstyle \alpha$(s) (28)

avec f, g aléatoires ad hoc et L$\scriptstyle \alpha$(t) processus de Lévy.

Cette généralisation a pour but de définir une classe manipulable d'intégrales en vue d'aborder la résolution d'équations différentielles stochastiques dans les espaces de Lévy.

Parallèlement, des travaux sont menés pour établir la forme du générateur infinitésinal, i.e.

\begin{displaymath}\frac{\partial}{\partial t} ( E[\phi(t,X(t)) \vert {\cal F}_t])\end{displaymath}
pour une classe de fonctions déterministes $ \phi$ la plus grande possible.

Le principal problème réside dans l'aspect numérique qu'implique la manipulation des processus stables. Un important travail a été nécessaire afin de se donner l'outil de calcul qui permettra de ``tester'' le modèle pour des valeurs les plus générales possibles des paramètres définissant les processus stables.

Après avoir traité les questions théoriques et numériques nombreuses soulevées par l'emploi des lois stables, nous utilisons maintenant ces résultats pour tester, en s'appuyant sur des historiques de prix et de cours l'efficience d'une gestion de portefeuille à l'aide des ratios de couverture issus du nouveau cadre dans lequel on se place pour comparer cette gestion avec celle induite du cadre gaussien.

Nous avons d'ores et déjà commencé à observer un phénomène qui va dans le sens espéré des travaux de recherche que nous menons : la réduction du ``smile'' de volatilité. Ce phénomène, qui se traduit par la dépendance de la volatilité implicite de l'option en fonction de son strike, tend à s'atténuer fortement lorsque l'on fait varier l'indice de stabilité Alpha. Plus précisément on observe que l'on peut en général trouver un Alpha optimal qui rend la dépendance de la volatilité implicite par rapport au strike la plus petite possible. Empiriquement nous trouvons des valeurs avoisinant 1.8, ce qui va dans le sens des observations statistiques faites sur différents actifs sous-jacents. Nous allons donc tester la dépendance dans le temps de cet Alpha optimal pour un sous-jacent donné puis nous simulerons, à l'aide de cet Alpha, la gestion d'un portefeuille constitué d'une option et de sa couverture et ce dans différents cas de figure (scénario de stabilité ou au contraire scénario de crise).

   
Contrôle optimal de systèmes avec retard



Participante : Agnès Sulem.

En collaboration avec Bernt Øksendal de l'université d'Oslo, nous étudions les systèmes stochastiques avec délai suivant:

dX(t) = b(t, X(t), X(t - $\displaystyle \delta$))dt + $\displaystyle \sigma$(t, X(t), X(t - $\displaystyle \delta$))dW(t) - d$\displaystyle \gamma$(t)
avrc les valeurs initiales
X(s) = $\displaystyle \xi$(s),     - $\displaystyle \delta$ $\displaystyle \leq$ s $\displaystyle \leq$ 0
où b et $ \sigma$ sont des fonctions données, $ \delta$ > 0, et W est un processus de Wiener. Le processus de contrôle $ \gamma$(t) est ${\cal F}_t$-adapté, croissant, et continu à droite. Il represente des flux de dividendes à optimiser ou bien peut modéliser des stratégies de ``harvesting'' pour les systèmes biologiques. Le critère à optimiser est le suivant:
\begin{displaymath}\Phi(x, \xi) = \sup E^{x, \xi} [ \int_0^T \exp{- \rho t} d \gamma(t)] \; \; \xi \in {\cal C}[- \delta,0]\end{displaymath}
avec
T = inf{t > 0;X(t) - $\displaystyle \int_{0}^{t}$d$\displaystyle \gamma$(s) $\displaystyle \leq$ 0}.
Ce problème peut se formuler comme un problème de contrôle stochastique singulier et conduit à des inéquations vartiationnelles en dimension infinie à cause du retard. Nous avons déja obtenu des résultats explicites dans quelques cas particuliers.(cf [[64]]).

Contrôle stochastique ergodique et ergodique multiplicatif - Application en gestion de portefeuilles avec coûts de transaction



Participantes : Marianne Akian, Agnès Sulem.

En collaboration avec Michael Taksar (Stony Brook University New York), nous avons poursuivi l'étude des inéquations variationnelles ergodiques associées à l'optimisation d'un taux moyen de profit.

Le modèle est celui décrit au paragraphe 4.1.3, mais sans consommation (c(t) $ \equiv$ 0) : soit un agent possédant un actif non risqué et n actifs risqués modélisés par des processus de diffusion log-normaux. On suppose que les transactions entre comptes entraînent des coûts proportionnels au montant de la transaction et sont modélisés par des contrôles singuliers. A chaque politique admissible $({\cal L},{\cal M})$, on associe les deux fonctionnelles de performance suivantes:

 
J$\scriptstyle \gamma$(L, M) = $\displaystyle \liminf_{T\rightarrow +\infty}^{}$T-1(1 - $\displaystyle \gamma$)-1logE$\displaystyle \left[\vphantom{ W(T)^{1-\gamma}}\right.$W(T)1 - $\scriptstyle \gamma$$\displaystyle \left.\vphantom{ W(T)^{1-\gamma}}\right]$,    $\displaystyle \gamma$ $\displaystyle \geq$ 0,  $\displaystyle \gamma$$\displaystyle \ne$1. (29)

 
J1(L, M) = $\displaystyle \liminf_{T\rightarrow +\infty}^{}$T-1E{logW(T)} (30)

où $ \gamma$ $ \geq$ 0 représente le coefficient d'aversion au risque. Jusqu'à présent nous nous sommes intéressés au critère J1 uniquement, c'est à dire au cas $ \gamma$ = 1. L'objectif est de calculer
 
$\displaystyle \sup_{{\cal L},{\cal M}}^{}$J1(L, M) = : $\displaystyle \pi$. (31)

Ce problème se réduit à un problème de contrôle stochastique singulier avec critère ergodique. On obtient alors le taux moyen maximal $ \pi$ainsi que la fonction potentiel correspondante comme solutions d'une inéquation variationnelle ergodique.

L'étude théorique de l'inéquation variationnelle a été menée à l'aide de la notion de solutions de viscosité. Nous avons en particulier travaillé cette année sur les problèmes d'unicité des solutions de viscosité de cette équation.

Sa résolution numérique a été effectuée à l'aide de l'algorithme FMGH basé sur l'algorithme de Howard et les multigrilles [Aki90].

Nous avons ainsi obtenu la stratégie optimale de transaction, c'est à dire que nous avons déterminé les frontières entre les régions où il est optimal d'acheter, de vendre ou de laisser évoluer sans transaction chaque actif.

La rédaction d'un article sur ces travaux est sur le point d'être achevée (cf [[60]]).

Cette année, nous nous sommes aussi intéressés au critère J$\scriptstyle \gamma$ pour $ \gamma$ < 1, qui est un critère ergodique multiplicatif. Dans ce cas, l'équation vérifiée par le taux moyen maximal contient un terme non linéaire quadratique supplémentaire en la fonction potentiel. L'inéquation variationnelle s'interprète comme l'inéquation variationnelle d'un problème de contrôle stochastique ergodique comprenant une variable de contrôle régulier additionnelle intervenant de manière quadratique dans le critère. On peut alors utiliser les mêmes techniques que précédemment pour résoudre le problème.

Par contre, dans le cas $ \gamma$ > 1, l'inéquation variationnelle est une équation d'Isaac ergodique et les techniques précédentes ne s'appliquent pas.


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