Projet : META2

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Sous-sections

• Approche géométrique des systèmes linéaires max-plus linéaires
• Boîte à outils Max-Plus
• Systèmes dynamiques monotones homogènes et systèmes à événements discrets
• Séries Rationnelles Monotones et Systèmes Temps Réel
• Asymptotique de la valeur propre et du vecteur propre de Perron
• Jeu de Tetris, Empilements de Pièces, Algèbre max-plus, Ordonnancement Cyclique, Réseaux de Petri Temporisés et Monoïdes de Trace
• Forme produit min-plus

   
Systèmes à événements discrets, algèbre max-plus et programmation dynamique

Approche géométrique des systèmes linéaires max-plus linéaires

Participants : Guy Cohen, Stéphane Gaubert, Jean-Pierre Quadrat.

Les études géométriques entreprises les années précedentes pour mieux comprendre la structure des semi-modules ont été continuées cette année. Une notion de projecteur sur une image parallèlement à un noyau a été généralisée à des cas de non transversalité de l'image et du noyau. Cette transversalité assure la linéarité au sens de l'algèbre max-plus de l'opérateur de projection. Des conditions algébriques assurant l'existence de ces projecteurs linéaires ont été données les années précédentes. Une compréhension plus géométrique commence à apparaître. Les conséquences sur le problème de la réalisation minimale de systèmes dynamiques max-plus linéaires ont été étudiées. Grâce au projecteur sur l'espace commandable parallèlement à l'espace non-observable, il est possible d'obtenir une dynamique dont l'espace d'états est le plus petit possible au sens de l'inclusion des ensembles. La dynamique obtenue est en général non linéaire. Les conditions nécessaires pour que cette dynamique aggrégée soit linéaire ne sont pas encore bien comprises. Le problème de la réalisation linéaire de dimension minimale reste un problème ouvert difficile.

Les résultats partiels obtenus, ainsi que des exemples illustratifs non triviaux, ont été présentés à la conférence Ifac ``System Structure and Control'', Nantes, Juillet 98.

Boîte à outils Max-Plus

Participants : Guy Cohen, Stéphane Gaubert, Jean-Pierre Quadrat.

Une première version de la boîte à outils max-plus utilisable avec la version 2.4 de Scilab a été réalisée. Elle reprend le travail effectué par M. Mac Gettrick (Ecole des Mines) dans le cadre du projet européen Alapedes consistant à modifier une version ancienne de Scilab. La nouvelle boîte sera un ensemble de programmes indépendants ``linkables'' aux nouvelles versions de Scilab.

Systèmes dynamiques monotones homogènes et systèmes à événements discrets

Participants : Stéphane Gaubert, Jean Cochet-Terrasson.

En collaboration avec Jeremy Gunawardena, Brims, Hewlett-Packard Labs., Bristol.

On s'intéresse au comportement asymptotique des itérées de fonctions f : $\mathbb{R}$ⁿ $\rightarrow$ $\mathbb{R}$ⁿ monotones et additivement homogènes, qui apparaissent dans divers contextes (évaluation de performance de systèmes à événements discrets, contrôle stochastique, théorie des jeux, théorie de Perron-Frobenius). On s'intéresse particulièrement aux fonctions finiment engendrées, dont chaque fonction coordonnée g est produite par la règle de grammaire:

 

$$\oplus_{h}^{} \alpha \alpha$$ (24)

où a désigne un réel quelconque, h un réel non-nul, $\alpha$ un réel compris entre 0 et 1, et où $\oplus_{h}^{}$ désigne la loi h-déformée de l'addition usuelle: a $\oplus_{h}^{}$ b = hlog(e^a/h + e^b/h). Par exemple, l'application suivante est finiment engendrée:

 

$$\left(\vphantom{\begin{array}{c}\max(\min(x_1,2+x_2),3+x_1)\\ 7+ \frac{x_1}{3} + \frac{2x_2}{3}\end{array}}\right. \begin{array}{c}\max(\min(x_1,2+x_2),3+x_1)\\ 7+ \frac{x_1}{3} + \frac{2x_2}{3}\end{array} \left.\vphantom{\begin{array}{c}\max(\min(x_1,2+x_2),3+x_1)\\ 7+ \frac{x_1}{3} + \frac{2x_2}{3}\end{array}}\right)$$ (25)

et l'application $\overline{f}$de $\mathbb{R}$₊³ dans $\mathbb{R}$₊³

 

$$\overline{f} \overline{x} \left(\vphantom{\begin{array}{l}\max( 3\overline{x}_1, 7\overline... ...e{x}_1(9\overline{x}_2 + 6\overline{x}_3)}\\ \overline{x}_2 \end{array}}\right. \begin{array}{l}\max( 3\overline{x}_1, 7\overline{x}_2)\\ \sqrt{\overline{x}_1(9\overline{x}_2 + 6\overline{x}_3)}\\ \overline{x}_2 \end{array} \left.\vphantom{\begin{array}{l}\max( 3\overline{x}_1, 7\overline... ...e{x}_1(9\overline{x}_2 + 6\overline{x}_3)}\\ \overline{x}_2 \end{array}}\right)$$ (26)

est conjuguée (via le changement de variable $\overline{x}_{i}^{}$ = exp(x_i)) d'une application monotone additivement homogène finiment engendrée.

Pour de telles applications, on cherche généralement à calculer le temps de cycle $\chi$(f )= $\lim_{k\to\infty}^{}$f^k(x)/k, où x $\in$ $\mathbb{R}$ⁿ, et à caractériser, autant que possible à partir de l'expression syntaxique donnant f, l'existence d'un vecteur propre additif u $\in$ $\mathbb{R}$ⁿ, solution de f (u) = $\lambda$ + u ($\lambda$ $\in$ $\mathbb{R}$ est la valeur propre associée). Si $\lambda$ est valeur propre, on a $\chi$(f )= ($\lambda$,...,$\lambda$).

Le cas général est répertorié comme difficile. On a cette année obtenu des résultats constructifs pour deux sous-classes importantes de fonctions. Qualifions de (max, min, + ,$\mathbb{E}$) (lire max-min-plus-espérance) les fonctions obtenues en n'utilisant jamais le symbole $\oplus_{h}^{}$ dans la règle de grammaire (24). On a montré dans [[46]], faisant suite à [[25],[22]], les résultats suivants. Une application f qui est (max, min, + ,$\mathbb{E}$) admet un vecteur propre additif ssi son temps de cycle est de la forme $\chi$(f )= ($\lambda$,...,$\lambda$). D'autre part, l'application qui à une fonction f associe son temps de cycle $\chi$(f ) est ``presque'' un morphisme pour la loi sup: si {g^u}_{u $\in$ U} est une famille finie et rectangulaire (i.e. close par échange de ligne) d'applications qui sont (max, min, + ,$\mathbb{E}$), on a

 

$$\chi \max_{u\in U}^{} \max_{u\in U}^{} \chi$$ (27)

Cette propriété et sa duale (avec la loi min) permettent de calculer par induction le temps de cycle d'applications (max, min, + ,$\mathbb{E}$). Par exemple, dans le cas de (25), on obtient aisément $\chi$(f )= (6, 6). L'application naïve de (27) aurait en général un coût exponentiel, mais la preuve donnée dans [[46]] recèle un algorithme pratiquement très efficace (variante de l'itération sur les politiques, bien connue en contrôle stochastique). La spécialisation de cet algorithme aux systèmes max-plus linéaires [[42]] bat expérimentalement d'un ordre de grandeur toutes les méthodes connues pour résoudre un vieux problème de recherche opérationnelle (circuit de poids moyen maximal).

Une autre sous-classe intéressante est obtenue cette fois ci en s'interdisant d'utiliser les symboles min et $\oplus_{h}^{}$ pour h < 0 dans (24). Contrairement au cas général, l'asymptotique de ces applications est gouvernée par des considérations combinatoires simples sur le graphe syntaxique d'une expression quelconque définissant f. On peut voir ainsi ``immédiatement'' que l'application $\overline{f}$ définie par (26) admet un vecteur propre (multiplicatif) $\overline{x}$ dans l'intérieur du cône positif (i.e. $\overline{f}$($\overline{x}$) = $\lambda$$\overline{x}$, avec $\overline{x}_{i}^{}$ > 0). On essaie actuellement d'étendre ce genre de résultats.

Séries Rationnelles Monotones et Systèmes Temps Réel

Participant : Stéphane Gaubert.

En collaboration avec Claude Jard (Projet Pampa) et Albert Benveniste (Projet Sigma2).

Le but de ce travail, qui débute, est de développer des modèles algébriques de type max-plus bien adaptés aux systèmes temps réel (on pense en particulier à des problèmes de calcul exact de temps de réponse). Nos efforts ont d'abord porté sur la modélisation de comportements temporisés par des relations rationnelles, dont le graphe a certaines propriétés de monotonie. Par exemple, un couple (w, t) signifiera ``la suite d'événements représentée par le mot w ne peut se produire avant l'instant t'', ce qui demande de quotienter l'algèbre des relations rationnelles par des identités de type (wa, t) + (w, t) = (w, t) et (w, t + 1) + (w, t) = (w, t + 1). L'algèbre quotient est un objet bien esthétique dont les propriétés sont étudiées dans [[39]]. Ce modèle inclut le cas où l'instant tau lieu d'être un entier est un élément soit d'un monoïde libre, soit d'un monoïde commutatif libre, ce qui est utile pour certains problèmes de calcul symbolique de performance. On travaille actuellement à mieux comprendre le pouvoir de modélisation de ces outils (seulement esquissé dans [[40]]), et à développer des algorithmes adaptés.

Asymptotique de la valeur propre et du vecteur propre de Perron

Participants : Marianne Akian, Stéphane Gaubert.

Dans ce travail, en collaboration avec Ravindra Bapat, de l'Indian Statistical Institute, New Delhi, on s'intéresse à l'asymptotique de la valeur propre et du vecteur propre de Perron de matrices à coefficients positifs ou nuls, dépendant géométriquement d'un grand paramètre.

Précisément, soit $\mathcal {A}$_p une matrice n x n à coefficients réels positifs ou nuls, irréductible, admettant une asymptotique de type grandes déviations par rapport au paramètre p :

$$\lim_{p\to\infty}^{}$$($$\mathcal {A}$$_p)^{${\frac{1}{p}}$}_ij = A_ij .

Si la matrice A = (A_ij) est irréductible, en utilisant les résultats analogues au théorème de Perron-Frobenius dans le semi-corps $\mathbb{R}$_max = ($\mathbb{R}$⁺, max, x , 0, 1), isomorphe au semi-corps max-plus, on obtient les asymptotiques de type grandes déviations de la valeur propre de Perron $\mathcal {L}$_p, et dans certains cas celles du vecteur propre de Perron normalisé $\mathcal {U}$_p. La limite quand p tend vers l'infini de ($\mathcal {L}$_p)^{${\frac{1}{p}}$} existe et est égale à la valeur propre de A, dans $\mathbb{R}$_max qui se calcule aisément (c'est la moyenne géométrique maximale des poids des circuits du graphe de A). De même, tout point d'accumulation de la suite U_p = (($\mathcal {U}$_p)_i^{${\frac{1}{p}}$}) est vecteur propre normalisé de A dans $\mathbb{R}$_max. La difficulté est que A a en général plusieurs vecteurs propres normalisés.

Le but de notre étude est de caractériser les cas d'existence de la limite de U_p et de la calculer de manière combinatoire. Ce problème apparaît en Mécanique Statistique dans la méthode de l'opérateur de transfert, pour une matrice de la forme $\mathcal {A}$_p = ((A_ij)^p), quand on fait tendre la température T = 1/p vers 0. Le cas où $\mathcal {A}$_p est une matrice de Markov (et où l'on cherche les asymptotiques du vecteur propre à gauche) est déjà traité par la théorie de Freidlin-Wentzell [FW84, Ch. 6].

Contrairement au cas Freidlin-Wentzell, la caractérisation de la limite de U_p pour une matrice $\mathcal {A}$_p quelconque dépend en général du développement asymptotique des coefficients de $\mathcal {A}$_p jusqu'à un ordre assez élevé. Par exemple, sous l'hypothèse

($$\mathcal {A}$$_p)_ij $$\sim$$ a_ijA_ij^p ,

le premier terme du développement asymptotique de $\mathcal {L}$_p et $\mathcal {U}$_p est solution d'un problème spectral sur un semi-corps de ``jets'' généralisant le semi-corps $\mathbb{R}$<sub>max</sub>. En établissant un ``théorème de Perron-Frobenius'' pour les jets, nous avons pu caractériser le premier terme de ce développement, et donc la limite de U_p, dans des cas non-singuliers. Pour les cas singuliers, nous utilisons une procédure d'agrégation à la Wentzell-Freidlin. Les résultats décrits ici, ainsi que la première étape d'agrégation sont présentés dans [[19]]. Une publication plus détaillée est en cours de rédaction.

Jeu de Tetris, Empilements de Pièces, Algèbre max-plus, Ordonnancement Cyclique, Réseaux de Petri Temporisés et Monoïdes de Trace

Participants : Stéphane Gaubert, Jean Mairesse.

 

Le travail des dernières années [[26]] sur l'évaluation de performance de réseaux de Petri temporisés à l'aide d'empilements de pièces de type ``jeu de Tetris'', et de semi-groupes de matrices sur le semi-anneau max-plus, se poursuit très activement. Il s'agit essentiellement de mesurer le taux de croissance de longs produits de matrices M_i1...M_ik, les matrices M_i1,..., M_ik étant prises dans un ensemble fini. Si l'on tire les matrices au hasard, disons de manière i.i.d, le taux de croissance presque sûre de ce produit, dit exposant de Lyapunov, mesure le taux de production de systèmes à événement discrets stochastiques (voir à ce propos les travaux du Projet Mistral dans le Thème 1B). Si l'on cherche cette fois à minimiser le taux de croissance de ce produit, on tombe essentiellement sur un problème d'ordonnancement cyclique. Dans tous les cas, l'une des principales techniques pour évaluer ces taux de croissance est (pour parler le langage de l'informatique théorique) de rendre séquentiel l'automate associé, ou (pour parler le langage des probabilités) de voir ce produit max-plus comme une fonctionnelle additive des trajectoires d'une chaîne Markov dans l'espace projectif. Toute la difficulté est de rendre effectives ces constructions qui mettent en jeu des espaces d'états en général infinis. Le progrès principal de cette année est le suivant: on obtient des cas intéressants et nouveaux de déterminisation effective (et donc de calcul de ces exposants de Lyapunov) en incorporant au calcul un opérateur (non-linéaire) de complétion, qui s'exprime simplement avec les lois min,max et plus, et qui donne à une approximation près, le représentant maximal pour l'équivalence à la Nerode sous-jacente. Un article de synthèse sur ces questions est en préparation.

Forme produit min-plus

Participants : Oumar Fall, Jean-Pierre Quadrat.

On étudie dans ce travail les cas ou l'équation de la programmation dynamique d'un réseau de stocks déterministe a une propriété analogue à la forme produit des réseaux de file d'attente. Lorsque c'est le cas on parle de forme produit min-plus. Il est en effet crucial d'obtenir pour ces réseaux des formules explicites (même dans des cas simplistes) car le nombre d'états croit de façon exponentielle avec le nombre de stocks et les feedbacks complets ne sont même plus stockables.

A un réseau de m files d'attentes on peut associer une marche aléatoire sur Z^m. L'analogue min-plus d'une marche aléatoire est une marche dans laquelle à chaque étape on a une décision à prendre ayant un coût au lieu d'avoir une probabilité de se déplacer dans une direction donnée. A l'équation de Kolmogorov correspond alors l'équation de la programmation dynamique.

Un réseau de type Jackson a sa mesure invariante qui s'exprime comme un produit de mesures invariantes (associées chacunes a une file d'attente équivalente). L'anlogue min-plus consiste à calculer le chemin de coût minimum joignant les points x et y de l'espace d'états dans lequel vit la marche. C'est un calul de géodesique dans un réseau dans lequel on dispose de champs de déplacements admissibles. On montre que lorsque les coûts sont invariants par translation le problème se raméne à un problème de flôt et que pour certaine disposition relative des points x et y ce problème de flôt se trivialise et peut être résolu explicitement et que la fonction valeur s'écrit comme une somme de coûts ce qui donne une formule analogue à la forme produit standard.

Ce travail se fait dans le cadre de la thèse de O. Fall. Seul le cas le plus simple a été élucidé, il reste à généraliser le domaine de validité de cette méthode.

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