Projet : MEVAL

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Sous-sections

• Méthodes analytiques
• Classification et théorie constructive des chaînes de Markov dans Zⁿ₊
• Techniques de martingales
• Systèmes dynamiques

   
Réseaux et marches aléatoires dans Zⁿ₊

  Si on choisit l'exemple des systèmes de télécommunications ou de transport, la plupart d'entre eux se laissent modéliser de façon assez réaliste par un ensemble de stations de service, où les serveurs sont les ressources (logiques ou physiques) du système considéré et où les entités circulant entre les stations représentent les requêtes, messages, programmes partageant ces ressources. À un réseau formé de n stations avec plusieurs classes de clients, on pourra souvent associer un processus Markovien vectoriel

X(t) = $$\bigl($$X₁(t), X₂(t),..., X_n(t)$$\bigr)$$,

X_i(t)décrivant la configuration des clients à la station i au temps t. L'étude de ces processus nécessite, globalement, des outils de deux natures :

• probabiliste, pour trouver les conditions d'existence de régimes stationnaires ;
• analytique, lorsqu'on veut calculer des distributions, estimer des vitesses de convergence, etc.

Pour des raisons physiques évidentes de positivité des quantités mises en jeu, il appert que les marches aléatoires dans Zⁿ₊ sont isomorphes à des familles de réseaux comportant n sites. La difficulté majeure provient de l'existence des frontières naturelles.

  
Méthodes analytiques

Participants : Guy Fayolle, Roudolf Iasnogorodski, Vadim Malyshev.

Ce thème est fondamental et en perpétuel approfondissement. Lorsque n = 2, les sauts étant d'amplitude 1, la détermination de la mesure invariante équivaut souvent à résoudre une équation fonctionnelle de la forme

Q(x, y)$$\pi$$(x, y) + q(x, y)$$\pi$$(x) + $$\widetilde{q}$$(x, y)$$\widetilde{\pi}$$(y) + $$\pi_{00}^{}$$q₀(x, y) = 0.

Il s'agit de trouver des fonctions $\pi$(x, y),$\pi$(x),$\widetilde{\pi}$(y), holomorphes dans les régions | x|,| y| < 1 et continues dans | x|,| y| $\leq$ 1. Ici, Q, q,$\widetilde{q}$, q₀ sont des polynômes. En se plaçant sur la courbe algébrique Q(x, y) = 0 (en général elliptique), deux approches fondamentales ont été développées, conduisant (par factorisation ou uniformisation) à des formes explicites des solutions.

• Dans [[6]] est introduit le groupe ${\cal G}$ de la marche aléatoire, dont l'étude, via les automorphismes de Galois et en uniformisant la courbe algébrique, permet un calcul effectif sous forme de série.
• Dans [[3]], on se ramène à la résolution d'un problème aux limites de type Riemann-Hilbert-Carleman, pour une fonction d'une variable, posé dans le plan complexe et dont la forme la plus simple s'énonce ainsi : trouver une fonction analytique dans un domaine simplement connexe ${\cal D}$ et satisfaisant une condition sur la frontière $\delta{\cal D}$.

Vers la fin des années 70, ces méthodes ont été reprises avec fruit dans certains laboratoires étrangers ( CWI, Université de Newcastle) ou font l'objet d'études immédiates ou à long terme (Bell Laboratories, IBM Yorktown Heights, Universités du Michigan, d'Ottawa, etc.). Le livre [[2]], écrit par les trois auteurs précités, présente une synthèse, esquissée ci-dessous, des principaux résultats.

• Liaison avec la géométrie algébrique et le prolongement analytique des fonctions inconnues.
• Lorsque le groupe ${\cal G}$ est d'ordre fini, détermination des conditions nécessaires et suffisantes pour que les solutions soient rationnelles ou algébriques.
• Lorsque ${\cal G}$ est d'ordre infini, un problème de factorisation est formulé, dont l'indice, calculé analytiquement, donne les conditions d'ergodicité (i.e. pour que les fonctions cherchées n'aient pas de pôle dans le disque unité) ; la représentation des fonctions inconnues est donnée sous forme intégrale, à l'aide de la fonction $\wp$ de Weierstrass.
• Pour le genre 0 (problème posé sur la sphère de Riemann), expression des solutions au moyen des fonctions automorphes.
• Comportement asymptotique des probabilités stationnaires, par une analyse fine de type méthode du col + résidus sur la surface de Riemann sous-jacente.

Toujours en dimension 2, lorsque les sauts à l'intérieur du quart de plan sont non bornés selon les directions cardinales Est, Nord, Nord-Est, certaines généralisations ont été effectuées par J.W. Cohen ( CWI). Par contre, il n'existe actuellement aucune technique de portée générale à partir de la dimension 3. Le potentiel des méthodes évoquées ci-dessus est loin d'être épuisé. On citera par exemple :

- les études récentes de la vitesse intrinsèque de convergence (i.e. invariante par rapport aux perturbations dans un domaine fini), pour des chaînes de Markov dans Z²₊ ;

- la description analytique de certaines frontières de Martin ;

- des équations fonctionnelles rencontrées en gravité quantique.

Classification et théorie constructive des chaînes de Markov dans Zⁿ₊

Si les conditions de non explosion ou de non saturation des réseaux ont un intérêt pratique évident, leur caractérisation à l'aide de formules explicites résiste encore souvent à l'analyse, même pour des dimensions faibles (n = 2 ou 3). On a vu ci-dessus, qu'il est difficile de disposer de la forme analytique de la mesure invariante, voire très vite impossible, sauf dans des cas bien répertoriés, tel celui des réseaux éponymes (Jackson, BCMP), dits à formes produit car leur mesure invariante est factorisable. Cependant, il existe maintenant une approche très générale pour obtenir les conditions d'ergodicité de marches aléatoires fortement homogènes dans Zⁿ₊ ou dans des domaines similaires, qui donne une explication structurelle globale de la situation, en ramenant le problème de l'ergodicité d'une marche dans Zⁿ₊ à plusieurs problèmes en dimension n - 1, par construction de semi-martingales et de systèmes dynamiques (paragraphes suivants). Ces travaux fondamentaux ont reçu un cadre, avec la parution de l'ouvrage [[5]], dans lequel sont consignés des résultats originaux obtenus depuis une vingtaine d'années, sur la classification détaillée en termes d'ergodicité, de récurrence et de transience. Ce champ de recherches très vivant constitue l'un des points d'ancrage du projet.

   
Techniques de martingales

Participants : Guy Fayolle, Roudolf Iasnogorodski, Vadim Malyshev.

L'idée est de construire des fonctions de Lyapounov (FL) idoines, via des techniques de semi-martingales, la difficulté principale étant due à la présence de frontières. Cette approche a été décisive pour la résolution de nombreux problèmes (cf. rapports d'activité antérieurs) :

Fonctions de Lyapounov pour les réseaux     En exhibant une FL linéaire par morceaux pour les fameux réseaux de Jackson, on a pu retrouver les équations de conservation de flux liées à l'existence d'un régime stationnaire. Le phénomène intéressant est qu'il est possible d'appliquer cette fonction à des politiques de service ou d'arrivées en groupes, alors que la mesure invariante pour ce système est hors de portée (D. Botvitch et A. Zamyatin à l'Université de Moscou). Dérives nulles     En dimension 2 et 3, lorsque les sauts moyens sont nuls à l'intérieur du cône positif, on a introduit de nouvelles classes de FL, non linéaires (en particulier de la forme Q^$\delta$(x, y, z), Q étant une forme quadratique ; mais aussi des objets plus complexes faisant intervenir des caractéristiques géométriques). La classification complète des processus peut ainsi être obtenue et il existe des liens directs avec les processus de diffusion. Stabilité     Récemment, ont été menées une série de recherches sur l'intégrabilité de certaines fonctionnelles des temps d'atteinte $\tau_{A}^{}$ d'ensembles compacts A, pour des chaînes de Markov, en collaboration avec S. Aspandiiarov (Université Paris 5) et M. Menshikov. Les moments E$\tau_{A}^{p}$ jouent en effet un rôle important dans les théorèmes limites concernant ces chaînes. En liaison avec la théorie du mouvement brownien réfléchi, on donne notamment la valeur critique p₀ maximale, telle que E$\tau_{A}^{p}$ < $\infty$,  $\forall$p < p₀, lorsque l'espace d'états est Z²₊. Là encore, les critères donnés reposent sur la construction explicite de semi-martingales et permettent d'étudier le comportement fin de la queue de distribution de $\tau_{A}^{}$, ainsi que la vitesse de convergence vers le régime stationnaire.

Systèmes dynamiques

Participants : Frank Delcoigne, Guy Fayolle, Christine Fricker, Jean-Marc Lasgouttes, Vadim Malyshev.

Comme il est montré dans [[7]] et [[5]], il est toujours possible d'associer à une marche aléatoire fortement homogène dans Zⁿ₊, un système dynamique linéaire par morceaux, dont le champ de vecteurs associé (vitesses) ne dépende que des faces du domaine considéré. Cette propriété est équivalente à l'approximation d'Euler en physique statistique : on effectue des changements d'échelle identiques en temps et en espace (disons x/$\epsilon$ et t/$\epsilon$) pour se placer dans le contexte de la loi des grands nombres. [Il est utile de remarquer d'emblée que, si certaines vitesses sont nulles, la situation se complique, car elle impose de mélanger la normalisation d'Euler avec celle du théorème central limite (diffusions) et la plupart des problèmes restent alors ouverts]. Ces méthodes, plus profondes que celles dites des approximations fluides, sont utilisées et développées pour la résolution de modèles très divers :

Réseaux à une classe de clients     Il s'agit principalement des systèmes dits à polling (scrutin), où V serveurs partagent leur puissance entre N stations, et des réseaux de files d'attente classiques avec routage Markovien. Ici, un point fort agréable est qu'on peut souvent donner une caractérisation complète du champ de vecteurs, à l'aide de systèmes d'équations linéaires. Chaînes aléatoires en interaction     On propose diverses lois de stabilisation pour l'évolution stochastique de chaînes modifiables à leurs extrémités gauche ou droite. Cette représentation à base de chaînes est commode et permet de dégager des liens entre des domaines apparemment disjoints : réseaux multiclasses, marches aléatoires sur des groupes (libres non commutatifs, modulaires, graphes, etc.), théorie des champs quantiques en dimension 3, réseaux de neurones, etc. En collaboration avec des chercheurs du LLRS (Univ. de Moscou), a été amorcée la construction d'une théorie décrivant les interactions de plusieurs chaînes. Elle englobe en particulier les réseaux de files à plusieurs classes de clients, de type PAPS (premier arrivé, premier servi) ou DAPS (dernier arrivé, premier servi), et généralise le cadre des marches aléatoires homogènes classiques.

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