<!DOCTYPE html PUBLIC "-//W3C//DTD HTML 3.2//EN">
<!--Converted with LaTeX2HTML 98.1p1 release (March 2nd, 1998)
originally by Nikos Drakos (nikos@cbl.leeds.ac.uk), CBLU, University of Leeds
* revised and updated by:  Marcus Hennecke, Ross Moore, Herb Swan
* with significant contributions from:
  Jens Lippmann, Marek Rouchal, Martin Wilck and others -->

<html>
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  <meta name="generator" content=
  "HTML Tidy for Mac OS X (vers 31 October 2006 - Apple Inc. build 13), see www.w3.org">

  <title>Projet : MEVAL - Réseaux et marches aléatoires dans
  Zn+</title>
  <meta name="description" content=
  "Réseaux et marches aléatoires dans Zn+">
  <meta name="keywords" content="meval">
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</head>

<body bgcolor="white">
  <a href="http://www.inria.fr/Equipes/MEVAL-fra.html">Projet :
  <small>MEVAL</small></a>

  <p><a name="tex2html122" href="fonde.html"><img width="24"
  height="24" align="bottom" border="4" alt="previous" src=
  "../icons/previous_motif.gif"></a> <a name="tex2html128" href=
  "fonde.html"><img width="24" height="24" align="bottom" border=
  "4" alt="up" src="../icons/up_motif.gif"></a> <a name=
  "tex2html131" href="fonde_module-4.html"><img width="24" height=
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  "../icons/next_motif.gif"></a> <a name="tex2html130" href=
  "meval.html"><img width="24" height="24" align="bottom" border=
  "4" alt="contents" src="../icons/contents_motif.gif"></a><br>
  <b>Précédent :</b> <a name="tex2html123" href=
  "fonde.html">Fondements scientifiques</a> <b>Remonter&nbsp;:</b>
  <a name="tex2html129" href="fonde.html">Fondements
  scientifiques</a> <b>Suivant&nbsp;:</b> <a name="tex2html132"
  href="fonde_module-4.html">Grands systèmes aléatoires</a><br></p>
  <hr>

  <p><!--End of Navigation Panel-->
  <!--Table of Child-Links-->
  <a name="CHILD_LINKS"><strong>Sous-sections</strong></a></p>

  <ul>
    <li><a name="tex2html133" href=
    "fonde_module-3.html#SECTION00031100000000000000">Méthodes
    analytiques</a></li>

    <li><a name="tex2html134" href=
    "fonde_module-3.html#SECTION00031200000000000000">Classification
    et théorie constructive des chaînes de Markov dans 
    <!-- MATH: $\mathbf{Z}^{n}_+$ -->
    <b>Z</b><sup>n</sup><sub>+</sub></a></li>

    <li><a name="tex2html135" href=
    "fonde_module-3.html#SECTION00031300000000000000">Techniques de
    martingales</a></li>

    <li><a name="tex2html136" href=
    "fonde_module-3.html#SECTION00031400000000000000">Systèmes
    dynamiques</a></li>
  </ul><!--End of Table of Child-Links-->
  <hr>

  <h2><a name="SECTION00031000000000000000">&nbsp;</a> <a name=
  "MEVAL_fondements_module-3">&nbsp;</a><br>
  Réseaux et marches aléatoires dans 
  <!-- MATH: $\mathbf{Z}^{n}_{+}$ -->
  <b>Z</b><sup>n</sup><sub>+</sub></h2>

  <p><a name="RES">&nbsp;</a> Si on choisit l'exemple des systèmes
  de télécommunications ou de transport, la plupart d'entre eux se
  laissent modéliser de façon assez réaliste par un ensemble de
  stations de service, où les serveurs sont les ressources
  (logiques ou physiques) du système considéré et où les entités
  circulant entre les stations représentent les requêtes, messages,
  programmes partageant ces ressources. À un réseau formé de
  <i>n</i> stations avec plusieurs classes de clients, on pourra
  souvent associer un processus Markovien vectoriel 
  <!-- MATH: \begin{displaymath}
X(t) = \bigl(X_1(t),X_2(t),\ldots , X_n(t) \bigr),
\end{displaymath} --></p>

  <div align="center">
    <i>X</i>(<i>t</i>) = <img width="8" height="26" align="middle"
    border="0" src="img2.gif" alt=
    "$\displaystyle \bigl($"><i>X</i><sub>1</sub>(<i>t</i>),
    <i>X</i><sub>2</sub>(<i>t</i>),...,
    <i>X</i><sub>n</sub>(<i>t</i>)<img width="8" height="26" align=
    "middle" border="0" src="img3.gif" alt=
    "$\displaystyle \bigr)$">,
  </div><i>X</i><sub>i</sub>(<i>t</i>)décrivant la configuration
  des clients à la station <i>i</i> au temps <i>t</i>. L'étude de
  ces processus nécessite, globalement, des outils de deux
  natures&nbsp;:

  <ul>
    <li>probabiliste, pour trouver les conditions d'existence de
    régimes stationnaires&nbsp;;</li>

    <li>analytique, lorsqu'on veut calculer des distributions,
    estimer des vitesses de convergence, etc.</li>
  </ul>Pour des raisons physiques évidentes de positivité des
  quantités mises en jeu, il appert que les marches aléatoires dans
  <!-- MATH: $\mathbf{Z}^{n}_{+}$ -->
  <b>Z</b><sup>n</sup><sub>+</sub> sont isomorphes à des familles
  de réseaux comportant <i>n</i> sites. La difficulté majeure
  provient de l'existence des frontières naturelles.

  <h3><a name="SECTION00031100000000000000">&nbsp;</a><a name=
  "ANAL">&nbsp;</a><br>
  Méthodes analytiques</h3><br>
  <br>
  <b>Participants :</b> Guy Fayolle, Roudolf Iasnogorodski, Vadim
  Malyshev.<br>
  <br>

  <p>Ce thème est fondamental et en perpétuel approfondissement.
  Lorsque <i>n</i> = 2, les sauts étant d'amplitude 1, la
  détermination de la mesure invariante équivaut souvent à résoudre
  une équation fonctionnelle de la forme 
  <!-- MATH: \begin{displaymath}
Q(x,y) \pi(x,y) + q(x,y) \pi(x) + \widetilde{q}(x,y)
\widetilde{\pi}(y) + \pi_{00}q_0(x,y) = 0.
\end{displaymath} --></p>

  <div align="center">
    <i>Q</i>(<i>x</i>, <i>y</i>)<img width="11" height="11" align=
    "bottom" border="0" src="img4.gif" alt=
    "$\displaystyle \pi$">(<i>x</i>, <i>y</i>) + <i>q</i>(<i>x</i>,
    <i>y</i>)<img width="11" height="11" align="bottom" border="0"
    src="img4.gif" alt="$\displaystyle \pi$">(<i>x</i>) +
    <img width="10" height="24" align="middle" border="0" src=
    "img5.gif" alt="$\displaystyle \widetilde{q}$">(<i>x</i>,
    <i>y</i>)<img width="11" height="12" align="bottom" border="0"
    src="img6.gif" alt="$\displaystyle \widetilde{\pi}$">(<i>y</i>)
    + <img width="21" height="22" align="middle" border="0" src=
    "img7.gif" alt=
    "$\displaystyle \pi_{00}^{}$"><i>q</i><sub>0</sub>(<i>x</i>,
    <i>y</i>) = 0.
  </div>Il s'agit de trouver des fonctions 
  <!-- MATH: $\pi(x,y), \pi(x),\widetilde{\pi}(y)$ -->
  <img width="11" height="11" align="bottom" border="0" src=
  "img8.gif" alt="$ \pi$">(<i>x</i>, <i>y</i>),<img width="11"
  height="11" align="bottom" border="0" src="img8.gif" alt=
  "$ \pi$">(<i>x</i>),<img width="11" height="12" align="bottom"
  border="0" src="img9.gif" alt="$ \widetilde{\pi}$">(<i>y</i>),
  holomorphes dans les régions | <i>x</i>|,| <i>y</i>| &lt; 1 et
  continues dans <!-- MATH: $|x|,|y|\leq 1$ -->
  | <i>x</i>|,| <i>y</i>| <img width="13" height="22" align=
  "middle" border="0" src="img10.gif" alt="$ \leq$"> 1. Ici, 
  <!-- MATH: $Q,q,\widetilde{q},q_0$ -->
  <i>Q</i>, <i>q</i>,<img width="10" height="24" align="middle"
  border="0" src="img11.gif" alt="$ \widetilde{q}$">,
  <i>q</i><sub>0</sub> sont des polynômes. En se plaçant sur la
  courbe algébrique <i>Q</i>(<i>x</i>, <i>y</i>) = 0 (en général
  elliptique), deux approches fondamentales ont été développées,
  conduisant (par factorisation ou uniformisation) à des formes
  explicites des solutions.

  <ul>
    <li>Dans [<a href="bibliographie.html#Mal1">[6]</a>] est
    introduit le <em>groupe</em> <img width="12" height="23" align=
    "middle" border="0" src="img12.gif" alt="${\cal G}$"> de la
    marche aléatoire, dont l'étude, via les automorphismes de
    Galois et en uniformisant la courbe algébrique, permet un
    calcul effectif sous forme de série.</li>

    <li>Dans [<a href="bibliographie.html#FI">[3]</a>], on se
    ramène à la résolution d'un problème aux limites de type
    Riemann-Hilbert-Carleman, pour une fonction d'une variable,
    posé dans le plan complexe et dont la forme la plus simple
    s'énonce ainsi&nbsp;: <em>trouver une fonction analytique dans
    un domaine simplement connexe</em> <img width="14" height="11"
    align="bottom" border="0" src="img13.gif" alt="${\cal D}$">
    <em>et satisfaisant une condition sur la frontière</em> 
    <!-- MATH: $\delta{\cal D}$ -->
    <img width="20" height="12" align="bottom" border="0" src=
    "img15.gif" alt="$\delta{\cal D}$"><em>.</em></li>
  </ul>

  <p>Vers la fin des années 70, ces méthodes ont été reprises avec
  fruit dans certains laboratoires étrangers ( <small>CWI</small>,
  Université de Newcastle) ou font l'objet d'études immédiates ou à
  long terme (Bell Laboratories, <small>IBM</small> Yorktown
  Heights, Universités du Michigan, d'Ottawa, etc.). Le livre
  [<a href="bibliographie.html#FIM">[2]</a>], écrit par les trois
  auteurs précités, présente une synthèse, esquissée ci-dessous,
  des principaux résultats.</p>

  <ul>
    <li>Liaison avec la géométrie algébrique et le prolongement
    analytique des fonctions inconnues.</li>

    <li>Lorsque le groupe <img width="12" height="23" align=
    "middle" border="0" src="img12.gif" alt="${\cal G}$"> est
    d'ordre fini, détermination des conditions nécessaires et
    suffisantes pour que les solutions soient rationnelles ou
    algébriques.</li>

    <li>Lorsque <img width="12" height="23" align="middle" border=
    "0" src="img12.gif" alt="${\cal G}$"> est d'ordre infini, un
    problème de factorisation est formulé, dont <em>l'indice</em>,
    calculé analytiquement, donne les conditions d'ergodicité (i.e.
    pour que les fonctions cherchées n'aient pas de pôle dans le
    disque unité)&nbsp;; la représentation des fonctions inconnues
    est donnée sous forme intégrale, à l'aide de la fonction
    <img width="12" height="22" align="middle" border="0" src=
    "img16.gif" alt="$ \wp$"> de Weierstrass.</li>

    <li>Pour le genre 0 (problème posé sur la sphère de Riemann),
    expression des solutions au moyen des fonctions
    automorphes.</li>

    <li>Comportement asymptotique des probabilités stationnaires,
    par une analyse fine de type méthode du col + résidus sur la
    surface de Riemann sous-jacente.</li>
  </ul>Toujours en dimension 2, lorsque les sauts à l'intérieur du
  quart de plan sont non bornés selon les directions cardinales
  Est, Nord, Nord-Est, certaines généralisations ont été effectuées
  par J.W.&nbsp;Cohen ( <small>CWI</small>). Par contre, il
  n'existe actuellement aucune technique de portée générale à
  partir de la dimension 3. Le potentiel des méthodes évoquées
  ci-dessus est loin d'être épuisé. On citera par exemple&nbsp;:

  <p>- les études récentes de la <em>vitesse intrinsèque</em> de
  convergence (i.e. invariante par rapport aux perturbations dans
  un domaine fini), pour des chaînes de Markov dans 
  <!-- MATH: $\mathbf{Z}^{2}_+$ -->
  <b>Z</b><sup>2</sup><sub>+</sub>&nbsp;;</p>

  <p>- la description analytique de certaines <em>frontières de
  Martin</em>&nbsp;;</p>

  <p>- des équations fonctionnelles rencontrées en gravité
  quantique.</p>

  <h3><a name="SECTION00031200000000000000">Classification et
  théorie constructive des chaînes de Markov dans 
  <!-- MATH: $\mathbf{Z}^{n}_+$ -->
  <b>Z</b><sup>n</sup><sub>+</sub></a></h3>Si les conditions de non
  explosion ou de non saturation des réseaux ont un intérêt
  pratique évident, leur caractérisation à l'aide de formules
  explicites résiste encore souvent à l'analyse, même pour des
  dimensions faibles (<i>n</i> = 2 ou 3). On a vu ci-dessus, qu'il
  est difficile de disposer de la forme analytique de la mesure
  invariante, voire très vite impossible, sauf dans des cas bien
  répertoriés, tel celui des réseaux éponymes (Jackson,
  <small>BCMP</small>), dits à <em>formes produit</em> car leur
  mesure invariante est factorisable. Cependant, il existe
  maintenant une approche très générale pour obtenir les conditions
  d'ergodicité de marches aléatoires fortement homogènes dans 
  <!-- MATH: $\mathbf{Z}^{n}_{+}$ -->
  <b>Z</b><sup>n</sup><sub>+</sub> ou dans des domaines similaires,
  qui donne une explication structurelle globale de la situation,
  en ramenant le problème de l'ergodicité d'une marche dans 
  <!-- MATH: $\mathbf{Z}^{n}_{+}$ -->
  <b>Z</b><sup>n</sup><sub>+</sub> à plusieurs problèmes en
  dimension <i>n</i> - 1, par construction de semi-martingales et
  de systèmes dynamiques (paragraphes suivants). Ces travaux
  fondamentaux ont reçu un cadre, avec la parution de l'ouvrage
  [<a href="bibliographie.html#FMM">[5]</a>], dans lequel sont
  consignés des résultats originaux obtenus depuis une vingtaine
  d'années, sur la classification détaillée en termes d'ergodicité,
  de récurrence et de transience. Ce champ de recherches très
  vivant constitue l'un des points d'ancrage du projet.

  <h3><a name="SECTION00031300000000000000">&nbsp;</a> <a name=
  "MART">&nbsp;</a><br>
  Techniques de martingales</h3><br>
  <br>
  <b>Participants :</b> Guy Fayolle, Roudolf Iasnogorodski, Vadim
  Malyshev.<br>
  <br>

  <p>L'idée est de construire des <em>fonctions de Lyapounov</em>
  (FL) idoines, via des techniques de semi-martingales, la
  difficulté principale étant due à la présence de frontières.
  Cette approche a été décisive pour la résolution de nombreux
  problèmes (cf. rapports d'activité
  antérieurs)&nbsp;:</p><b>Fonctions de Lyapounov pour les
  réseaux</b> &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;En exhibant une FL linéaire
  par morceaux pour les fameux réseaux de Jackson, on a pu
  retrouver les équations de conservation de flux liées à
  l'existence d'un régime stationnaire. Le phénomène intéressant
  est qu'il est possible d'appliquer cette fonction à des
  politiques de service ou d'arrivées en groupes, alors que la
  mesure invariante pour ce système est hors de portée
  (D.&nbsp;Botvitch et A.&nbsp;Zamyatin à l'Université de Moscou).
  <b>Dérives nulles</b> &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;En dimension 2 et
  3, lorsque les sauts moyens sont nuls à l'intérieur du cône
  positif, on a introduit de nouvelles classes de FL, non linéaires
  (en particulier de la forme <!-- MATH: $Q^{\delta}(x,y,z)$ -->
  <i>Q</i><sup><img width="8" height="10" align="bottom" border="0"
  src="img17.gif" alt="$\scriptstyle \delta$"></sup>(<i>x</i>,
  <i>y</i>, <i>z</i>), <i>Q</i> étant une forme quadratique&nbsp;;
  mais aussi des objets plus complexes faisant intervenir des
  caractéristiques géométriques). La classification complète des
  processus peut ainsi être obtenue et il existe des liens directs
  avec les processus de diffusion. <b>Stabilité</b>
  &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Récemment, ont été menées une série de
  recherches sur l'intégrabilité de certaines fonctionnelles des
  temps d'atteinte <img width="17" height="22" align="middle"
  border="0" src="img18.gif" alt="$ \tau_{A}^{}$"> d'ensembles
  compacts <i>A</i>, pour des chaînes de Markov, en collaboration
  avec S.&nbsp;Aspandiiarov (Université Paris 5) et
  M.&nbsp;Menshikov. Les moments <i>E</i><img width="17" height=
  "26" align="middle" border="0" src="img19.gif" alt=
  "$ \tau_{A}^{p}$"> jouent en effet un rôle important dans les
  théorèmes limites concernant ces chaînes. En liaison avec la
  théorie du mouvement brownien réfléchi, on donne notamment la
  valeur critique <i>p</i><sub>0</sub> maximale, telle que 
  <!-- MATH: $E\tau_A^p<\infty,\;\forall p < p_0$ -->
  <i>E</i><img width="17" height="26" align="middle" border="0"
  src="img19.gif" alt="$ \tau_{A}^{p}$"> &lt; <img width="16"
  height="11" align="bottom" border="0" src="img20.gif" alt=
  "$ \infty$">, &nbsp;<img width="10" height="12" align="bottom"
  border="0" src="img21.gif" alt="$ \forall$"><i>p</i> &lt;
  <i>p</i><sub>0</sub>, lorsque l'espace d'états est 
  <!-- MATH: $\mathbf{Z}^{2}_{+}$ -->
  <b>Z</b><sup>2</sup><sub>+</sub>. Là encore, les critères donnés
  reposent sur la construction explicite de semi-martingales et
  permettent d'étudier le comportement fin de la queue de
  distribution de <img width="17" height="22" align="middle"
  border="0" src="img18.gif" alt="$ \tau_{A}^{}$">, ainsi que la
  vitesse de convergence vers le régime stationnaire.

  <h3><a name="SECTION00031400000000000000">Systèmes
  dynamiques</a></h3><br>
  <br>
  <b>Participants :</b> Frank Delcoigne, Guy Fayolle, Christine
  Fricker, Jean-Marc Lasgouttes, Vadim Malyshev.<br>
  <br>

  <p>Comme il est montré dans [<a href=
  "bibliographie.html#Mal2">[7]</a>] et [<a href=
  "bibliographie.html#FMM">[5]</a>], il est toujours possible
  d'associer à une marche aléatoire fortement homogène dans 
  <!-- MATH: $\mathbf{Z}^{n}_{+}$ -->
  <b>Z</b><sup>n</sup><sub>+</sub>, un système dynamique linéaire
  par morceaux, dont le champ de vecteurs associé (vitesses) ne
  dépende que des faces du domaine considéré. Cette propriété est
  équivalente à <em>l'approximation d'Euler</em> en physique
  statistique&nbsp;: on effectue des changements d'échelle
  identiques en temps et en espace (disons 
  <!-- MATH: $x/\epsilon$ -->
  <i>x</i>/<img width="9" height="11" align="bottom" border="0"
  src="img22.gif" alt="$ \epsilon$"> et <!-- MATH: $t/\epsilon$ -->
  <i>t</i>/<img width="9" height="11" align="bottom" border="0"
  src="img22.gif" alt="$ \epsilon$">) pour se placer dans le
  contexte de la loi des grands nombres. [Il est utile de remarquer
  d'emblée que, si certaines vitesses sont nulles, la situation se
  complique, car elle impose de mélanger la normalisation d'Euler
  avec celle du théorème central limite (diffusions) et la plupart
  des problèmes restent alors ouverts]. Ces méthodes, plus
  profondes que celles dites des <em>approximations fluides</em>,
  sont utilisées et développées pour la résolution de modèles très
  divers&nbsp;:</p><b>Réseaux à une classe de clients</b>
  &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Il s'agit principalement des systèmes
  dits à <em>polling</em> (scrutin), où <i>V</i> serveurs partagent
  leur puissance entre <i>N</i> stations, et des réseaux de files
  d'attente classiques avec routage Markovien. Ici, un point fort
  agréable est qu'on peut souvent donner une caractérisation
  complète du champ de vecteurs, à l'aide de systèmes d'équations
  linéaires. <b>Chaînes aléatoires en interaction</b>
  &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;On propose diverses lois de stabilisation
  pour l'évolution stochastique de chaînes modifiables à leurs
  extrémités gauche ou droite. Cette représentation à base de
  chaînes est commode et permet de dégager des liens entre des
  domaines apparemment disjoints&nbsp;: réseaux multiclasses,
  marches aléatoires sur des groupes (libres non commutatifs,
  modulaires, graphes, etc.), théorie des champs quantiques en
  dimension 3, réseaux de neurones, etc. En collaboration avec des
  chercheurs du <small>LLRS</small> (Univ. de Moscou), a été
  amorcée la construction d'une théorie décrivant les interactions
  de plusieurs chaînes. Elle englobe en particulier les réseaux de
  files à plusieurs classes de clients, de type <small>PAPS</small>
  (premier arrivé, premier servi) ou <small>DAPS</small> (dernier
  arrivé, premier servi), et généralise le cadre des marches
  aléatoires homogènes classiques.

  <p><br></p>
  <hr>
  <a name="tex2html122" href="fonde.html"><img width="24" height=
  "24" align="bottom" border="4" alt="previous" src=
  "../icons/previous_motif.gif"></a> <a name="tex2html128" href=
  "fonde.html"><img width="24" height="24" align="bottom" border=
  "4" alt="up" src="../icons/up_motif.gif"></a> <a name=
  "tex2html131" href="fonde_module-4.html"><img width="24" height=
  "24" align="bottom" border="4" alt="next" src=
  "../icons/next_motif.gif"></a> <a name="tex2html130" href=
  "meval.html"><img width="24" height="24" align="bottom" border=
  "4" alt="contents" src="../icons/contents_motif.gif"></a><br>
  <b>Précédent :</b> <a name="tex2html123" href=
  "fonde.html">Fondements scientifiques</a> <b>Remonter&nbsp;:</b>
  <a name="tex2html129" href="fonde.html">Fondements
  scientifiques</a> <b>Suivant&nbsp;:</b> <a name="tex2html132"
  href="fonde_module-4.html">Grands systèmes aléatoires</a>

  <p><!--End of Navigation Panel--></p>
</body>
</html>
