Projet : MEVAL

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Sous-sections

• Propagation du chaos
• Condensation et transition de phase

    
Grands systèmes aléatoires

Participants : Frank Delcoigne, Guy Fayolle, Christine Fricker, Jean-Marc Lasgouttes, Vadim Malyshev.

Schématiquement, on peut dire que la résolution de modèles raisonnablement réalistes (ce vocable étant subjectif !) n'est possible que pour les dimensions extrêmes : faible (disons $\leq$ 3) ou très grande. Dans ce dernier cas, on parle de systèmes en limite thermodynamique, i.e. dont la taille (volume, graphe associé, nombre de noeuds, etc.), représentée par un certain paramètre N, augmente indéfiniment. S'il y a clairement une analogie avec les systèmes de particules rencontrés en physique, de nouvelles difficultés surgissent par suite de la non homogénéité des composants (sites). Les questions essentielles sont liées aux phénomènes suivants :

Propagation du chaos

Elle existe dans un réseau si, par définition, tout p-uplet de noeuds se comporte, lorsque N $\rightarrow$ $\infty$, comme un ensemble de p noeuds indépendants : on peut alors obtenir des renseignements quantitatifs sur la dynamique, l'état stationnaire et les vitesses de convergence. Pour les systèmes à fort degré de symétrie, les techniques utilisées sont issues de la mécanique statistique et dites à champ moyen : asymptotiquement, chaque site aura tendance à évoluer comme un processus de saut Markovien non homogène en temps, dont les taux de transition sont déterminés par calcul de la mesure empirique des actions dues aux autres sites, laquelle devient en fait déterministe. Une des difficultés provient de la rencontre d'équations différentielles non linéaires. Nous avons démontré la propagation du chaos pour diverses classes de réseaux ( BCMP, polling). Quand la dissymétrie est totale, la plupart des problèmes restent encore largement ouverts.

Condensation et transition de phase

Considérons un réseau fermé du type standard BCMP, non symétrique, comportant M clients et N noeuds. On veut trouver des fonctions M = f (N) conduisant, lorsque N $\rightarrow$ $\infty$, à un bon comportement, autrement dit à une bonne utilisation des ressources disponibles. Cette problématique a de multiples origines : gestion de parcs de véhicules en libre service, réseaux informatiques, etc. À l'aide de facettes fines du théorème central limite, on montre dans [[4]] que, pour des conditions initiales indépendantes, il y a propagation du chaos, mais différentes situations peuvent se produire :

• les files restent toutes uniformément bornées ;
• certaines files, en nombre peut-être infini, se saturent : on parle alors de condensation.

On a ainsi très logiquement introduit une classe de fonctions f (N), dites critiques, non nécessairement linéaires, différenciant les zones de stabilité et les zones de saturation. En outre, la vitesse de convergence vers l'état chaotique est d'ordre O(f^-1(N)).

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