Projet : MEVAL

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Sous-sections

• Méthodes analytiques
• Stabilité et questions connexes
• Dérives nulles

   
Marches aléatoires

Méthodes analytiques

Participants : Guy Fayolle, Vadim Malyshev, Roudolf Iasnogorodski.

$\bullet$ Le livre [[2]] a été achevé. On signalera simplement l'ajout d'un point technique intéressant (mais difficile), concernant les conditions d'existence dans le cas de dérives nulles. Les courbes algébriques qui interviennent sont alors de genre zéro et la situation pointue suivante peut se produire : la fonction F(x, y), introduite dans la section 3.1.1, est analytique dans le domaine ${\cal D}\times{\cal D}$, où ${\cal D}$ désigne disque unité ouvert, sans toutefois être continue sur la frontière. $\bullet$ Avec la collaboration de I. Kurkova ( LLRS, MOSCOU), on a mis en évidence des liens entre la frontière de Martin et les courbes elliptiques équations fonctionnelles du type évoqué dans la section 3.1.1 et extensivement étudiées dans [[2]]. De fait, la frontière de Martin décrit, pour des familles de chaînes de Markov transientes, la manière de dériver à l'infini. Il s'agit d'un outil utile pour étudier le transitoire de réseaux de files d'attente non-ergodiques et, pparemment, seules les méthodes analytiques sont efficaces.

Stabilité et questions connexes

Participant : Roudolf Iasnogorodski.

$\bullet$ L'article [[11]] est une extension de résultats de [AIM96], permettant de préciser le comportement asymptotique des temps d'atteinte de compacts dans Z₊².

$\bullet$ Les études [[1],[12]] ont été peaufinées et sont acceptées pour publication. Dans [[12]], on traite de l'évolution de marches aléatoires dans le cylindre Z₊² x Z, avec dérives nulles à l'intérieur du domaine et réflexions sur les frontières. Il est montré qu'il y a toujours transience, dans tous les cas non critiques de réflexion aux bords. On s'est intéressé aussi au problème de convergence des marches renormalisées. Deux situations sont alors possibles : soit le processus limite est une semimartingale continue ; soit il se comporte d'une façon inhabituelle, une des coordonnées tendant vers l'infini presque sûrement, avec une vitesse supérieure à $\sqrt{n}$. Ces résultats sont obtenus en s'appuyant sur les estimations des mesures invariantes de marches dans Z²₊, données dans [[1]].

Dérives nulles

Participant : Roudolf Iasnogorodski.

En collaboration avec S. Aspandiiarov et M. Menshikov, on a donné la classification complète des marches aléatoires dans Z³₊, avec réflexions aux bords et dérives nulles à l'intérieur du domaine [[22]]. Des phénomènes spécifiques ont été observés, liés au temps discret et qui n'existent pas pour le mouvement brownien, notamment pour les frontières de codimension 2.

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