Projet : NUMATH - Contrôle et identification de formes

Nous sommes intéressés par les problèmes d'optimisation de formes issus d'optimisation de structures en mécanique de solides et des problèmes à frontière libre. Nous étudions les conditions d'optimalité pour les problèmes définis sur des surfaces en dimensions 3. D'autre part, on développe des méthodes de type Newton avec des convergences superlinéaires pour traiter les problèmes d'optimisation des formes en trois dimensions.

Aspects théoriques généraux.

Dérivation

Dans [[26]] on établie une estimation C non-globale sur le bord pour le gradient de la solution d'un problème de Neumann à l'extérieur en R³, qui est la dérivée par rapport à la forme d'un autre problème de Neumann. La donnée au bord du problème qu'on étudie est de support compact petit et de norme C⁰( $\Gamma$ ) tendant vers l'infini quand le diamètre du support de la donnée au bord tend vers zéro. Ce problème apparaît en optimisation de formes lorque la méthode de Newton est utilisée. De plus, nous prouvons une estimation de bord fine sur le gradient de ce problème, qui montre qu'il décroît quand la distance de support de la donnée au bord croît (principe de Saint-Venant). L'estimation obtenue permet de réduire considérablement le coût du calcul de gradient.

Nous présentons dans [[42]] un théorème précisant la structure de la dérivée eulérienne d'une fonctionnelle de forme dans le cas d'un ouvert fissuré (ce qui étend les travaux réalisés dans le cas régulier) ainsi que deux applications, l'une établissant le lien avec les coefficients de singularité, et l'autre est l'utilisation du théorème dans un cas non linéaire.

Coques optimales formés sur une sphère. La méthode de la dérivée topologique.

Le sujet de [[36]], [[24]] est l'analyse de la sensibilité d'une coque mince, élastique et sphérique vis-à-vis de la modification de sa forme causée par la création d'une petite ouverture circulaire, loin de la charge appliquée. L'analyse concerne le potentiel élastique de la coque. La sensibilité de cette fonctionnelle est mesurée comme une dérivée topologique, notion introduite pour le problème de l'élasticité plane par Sokolowski et Zochowski et étendu ici au cas d'une coque sphérique. On démontre les résultats suivants : la dérivée première de la fonctionnelle par rapport au rayon de l'ouverture s'annule, et la dérivée seconde n'explose pas.

On propose une formule partiellement constructive pour la dérivée seconde ou la dérivée topologique. Les considérations théoriques sont confirmées par l'analyse d'un cas spécial de coque chargée suivant une symétrie de révolution et fragilisée par une ouverture à son pôle nord. Tout ce travail est basé sur la théorie de Niordson-Koiter des coques sphériques, appartenant à la famille des modèles de coques exactes du premier ordre de Love.

Conditions d'optimalité.

Dans les conditions d'optimalité du 1^er ordre et du 2^e ordre, il est important de connaître la forme explicite des ensembles tangents. Dans [[4]], les ensembles tangents d'ordre un et deux. Une application en contrôle de plaque de Kirchhoff est aussi donnée [[32]].

Le comportement asymptotique

Régularité et continuité par rapport à la forme.

Dans [[14]] on considère en dimension N $\geq$ 2 le problème d'optimisation de forme où l'inconnue est un ouvert de mesure prescrite minimisant l'énergie du problème de Dirichlet. En utilisant une méthode de pénalisation du problème variationnel associé, nous obtenons un résultat d'existence et de régularité de la fonction d'état et par conséquent, l'existence du domaine cherché.

Problèmes à frontière libre.

On étudie la modélisation, l'identification et le contrôle en mécanique des solides pour des problèmes de contacts pour des coques, des plaques ; des problèmes en plasticité et l'identification des fissures pour des plaques élastiques. Nous donnons des résultats sur l'existence de solutions faibles pour les modèles proposés, d'une part par la méthode de régularisation parabolique [[23]] et d'autre part par la méthode de régularisation elliptique [[20]].

Le modèle du durcissement par laser de la surface d'une pièce en acier consiste en une équation non-linéaire de la chaleur couplée avec un système de cinq équations différentielles ordinaires décrivant les fractions de volume des phases qui se produisent. Puisque la dureté obtenue peut être estimée par la fraction du volume de martensite, nous reformulons le problème de durcissement de la surface en un problème de contrôle optimal. Pour éviter les problèmes de fusion de cette surface, qui peuvent réduire le rendement de la pièce, le modèle est complété par des contraintes d'état pour la température. Nous étudions la différentiabilité de l'équation d'état par rapport au contrôle et décrivons les conditions nécessaires d'optimalité [[16]], [[3]].

Identification d'inclusions et de fissures

L'approche suivie consiste à transformer le problème d'identification en un problème d'optimisation de formes. De ce fait, nous utilisons les mêmes techniques que celles déjà développées pour la résolution du problème de magnétoformage.

Dans le cas bidimensionnel, nous montrons l'existence de la forme recherchée et établissons les conditions nécessaires d'optimalité. De plus, nous donnons d'une part, une expression de la dérivée seconde par rapport à la forme et d'autre part l'expression de la dérivée matérielle de la solution de l'équation d'état. Actuellement, nous commençons l'étude de la dimension trois. En particulier, nous considérons des inclusions avec des angles ; les solutions de l'équation d'état ont alors une partie singulière.

La formule de Griffith est obtenue dans [[35]], [[22]] dans le cas de conditions unilatérales sur la fissure. L'indépendance par rapport au chemin de l'intégrale de Rice-Cherepanov est prouvée. L'indépendance par rapport au chemin de l'intégrale de Rice-Cherepanov était précédemment prouvée en élasticité pour les conditions aux limites linéaires $\sigma_{22}^{}$ = 0, $\sigma_{12}^{}$ = 0 sur $\Xi^{\pm}_{l}$ dans le cas bidimensionnel. La formule de Griffith est aussi obtenue dans le cas tridimensionnel. Dans ce cas, la fissure bidimensionnelle est incluse dans un domaine tridimensionnel [[21]].

Calcul numérique de formes

Des méthodes de Newton [[37]], [[43]] adaptatives ont également été considérées afin de réduire le coût de calcul d'une itération de la méthode d'optimisation, tout en ayant une bonne précision à vitesse de convergence égale.

Nous développons actuellement un algorithme de Newton utilisant la dérivation automatique à l'aide du logiciel ODYSSÉE pour construire l'état adjoint. On obtient ainsi un algorithme donnant des résultats plus précis dans le calcul de la solution des conditions nécessaires de Karush Kuhn Tucker avec une convergence superlinéaire.

Contrôle et identification de formes

Résumé :