Projet : OMEGA - Interprétation probabiliste d'équations aux dérivées partielles

Participants : Madalina Deaconu, Jean-Sébastien Giet, Mihai Gradinaru, Bernard Roynette, Pierre Vallois, Sophie Wantz-Mézières.

En collaboration avec S. Benachour (université de Nancy 2), B. Roynette et P. Vallois ont établi une interprétation probabiliste de l'équation de Navier-Stokes dans un ouvert borné $\Omega$ de $\mathbbm {R}^2$ avec condition de vitesse nulle au bord. Au tourbillon $\omega$ est associé un processus de branchement non-linéaire (X_t, t $\geq$ 0) qui a la particularité de créer ou de détruire de la masse au bord de $\Omega$ . Le bord apparaît donc comme l'endroit où les tourbillons se créent ou se détruisent. Plus précisément, pour l'équation 2D le lien entre $\omega$ et X est le suivant : $\begin{displaymath}\mathbbm {E}_{\omega _0}\bigl(\displaystyle\int _{\Omega } h(x)dX_t\bigl)=<\omega(t,.),h>,\end{displaymath}$ pour toute fonction h régulière.

L'an dernier il restait des difficultés techniques pour justifier rigoureusement nos résultats, et en particulier le lien entre le processus de branchement et le tourbillon. Ces problèmes sont à présent résolus, et le travail de B. Roynette et P. Vallois en collaboration avec S. Benachour, a été soumis pour publication (voir [[25]]).

Nous avons également conjecturé la convergence d'un algorithme particulaire naturellement associé à notre approche. Des calculs numériques sont actuellement en cours pour tester la validité de cette conjecture.

Par ailleurs J.-S. Giet a commencé la même étude en dimension 3. L'analyse est beaucoup plus complexe, car l'équation du tourbillon n'est plus scalaire.

La méthode utilisée pour l'étude de l'équation de Navier-Stokes en dimension 2 permet d'obtenir des résultats intéressants dans un cadre différent. Plus précisément, M. Gradinaru, B. Roynette et P. Vallois, en collaboration avec M. Yor (université de Paris 6), ont calculé explicitement des lois de variables aléatoires du type $\int_{0}^{1}$ $\varphi$ (s)dL_s, pour une large classe de fonctions $\varphi$ , (L_t, t $\geq$ 0)désignant le temps local en 0 du processus de Bessel de dimension d $\in$ ]0, 2[. Ce travail a fait l'objet de deux articles soumis pour publication.

M. Deaconu et S. Wantz-Mézières se sont intéressées à un processus non-linéaire autostabilisant réfléchi. Cette étude est motivée par la modélisation du comportement de certains systèmes tampons, biologiques ou chimiques, avec consigne, comme par exemple la température du corps humain. On s'intéresse à la convergence en loi de la solution d'une équation différentielle stochastique non-linéaire et réfléchie dans l'intervalle [- 1, 1]. Soit $\beta :[-2,2]\rightarrow \mathbbm {R}$ une fonction impaire, croissante et lipschitzienne et (B_t , t $\geq$ 0) un mouvement brownien linéaire, issu de zéro. L'équation différentielle stochastique (non-linéaire, réfléchie) étudiée est la suivante :

$\displaystyle \left\{\vphantom{ \begin{array}{l} \displaystyle X_t = X_0+B_t -... ...vert k\vert _s\,,\,\,k_t = \int_0^t n(X_s)d\vert k\vert _s \end{array} }\right.$ $\displaystyle \begin{array}{l} \displaystyle X_t = X_0+B_t -\frac {1}{2} \disp... ...(X_s) d \vert k\vert _s\,,\,\,k_t = \int_0^t n(X_s)d\vert k\vert _s \end{array}$ $\displaystyle \left.\vphantom{ \begin{array}{l} \displaystyle X_t = X_0+B_t -\... ...vert k\vert _s\,,\,\,k_t = \int_0^t n(X_s)d\vert k\vert _s \end{array} }\right.$

(11)

Cette étude fait suite à un travail de B. Roynette, D. Talay et P. Vallois effectué en collaboration avec S. Benachour (université de Nancy 2). Ils considèrent le cas où l'intervalle [- 1, 1] est remplacé par $\mathbbm {R}$ . Dans leurs articles la fonction $\beta$ satisfait des hypothèses supplémentaires (la plus importante étant celle de convexité) et la diffusion n'est pas réfléchie.

Nous associons à l'équation (11) un système de particules et nous en déduisons, à l'aide du résultat de Sznitman, un phénomène de propagation du chaos pour ce système de particules. Décrivons les résultats principaux de notre étude. Dans l'équation (11) figurent trois inconnues : le couple de processus (X_t, k_t; t $\geq$ 0) et la famille de probabilités (u(t,.) , t $\geq$ 0). Nous montrons d'abord l'existence et l'unicité d'une mesure stationnaire pour le processus (X_t). Nous en déduisons ensuite un théorème de convergence en loi du processus (X_t) vers la mesure invariante. Lorsque $\beta$ (x) = x³ ou $\beta$ (x) = x⁵ nous montrons directement l'existence de la mesure stationnaire. Nous étudions ensuite l'approximation du processus X_t lorsque $\beta$ est x³ ou x⁵. Notre méthode repose sur des schémas d'approximation numérique de Slominski [Slo94] et Lépingle [Lép95,Lép93] pour des équations différentielles stochastiques réfléchies.

Cette étude fait l'objet d'un article qui est paru au Bulletin des Sciences Mathématiques[[15]].