Projet : OMEGA

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Sous-sections

• Méthodes particulaires stochastiques et processus de branchement
• Méthode particulaire pour l'équation de Burgers avec condition de Dirichlet
• Simulation de solutions statistiques d'EDP non linéaires
• Simulation de fluides viscoélastiques
• Livre en cours

   
Méthodes numériques probabilistes pour les EDP

Mots clés : méthode particulaire, propagation du chaos .

Nous poursuivons l'étude engagée sur ce sujet les années précédentes, aussi bien sur le plan de l'analyse théorique de la vitesse de convergence que sur le plan de l'implémentation numérique.

Méthodes particulaires stochastiques et processus de branchement

Participants : Axel Grorud, Hervé Régnier, Denis Talay.

Nous avons établi des résultats satisfaisants de vitesse de convergence pour la méthode particulaire de Sherman et Peskin pour des équations de type Kolmogorov-Petrovskii-Piskunov. Cette méthode met en oeuvre des particules issues de processus de branchement dont la loi de reproduction et la loi de parcours libre entre instants de branchement dépendent des interactions globales des particules. La technique de démonstration exploite la méthodologie introduite par M. Bossy et D. Talay pour les systèmes de particules en interaction champ moyen (voir [[7]]).

Méthode particulaire pour l'équation de Burgers avec condition de Dirichlet

Participant : Mireille Bossy.

Par sa simplicité, l'équation de Burgers est un problème de laboratoire intéressant pour la mise au point de méthode numérique en mécanique des fluides. On a obtenu l'interprétation probabiliste de l'équation de Burgers avec condition au bord de type Dirichlet. C'est une étape préliminaire à la construction et à la justification mathématique de l'algorithme particulaire. L'interprétation probabiliste est fondée sur un processus stochastique non linéaire réfléchi au bord du domaine. On montre que la fonction de répartition de la loi du processus (ou une modification simple de cette fonction) est solution de l'équation de Burgers dans l'intervalle considéré. La démonstration de la propagation du chaos pour le système particulaire associé est en cours. Les essais numériques ont permis de valider l'approche probabiliste employée.

Simulation de solutions statistiques d'EDP non linéaires

Participants : Denis Talay, Olivier Vaillant.

Mots clés : Solutions statistiques d'EDP, estimateurs non paramétriques de régression, propagation du chaos .

Nous nous intéressons à des EDP du type

 

$$\left\{\vphantom{ \begin{array}{llll} \displaystyle {\frac{\part... ...cm}\ v\mid_{t=0} & = & v_0 & \mbox{dans } \mathbbm {R}^n, \end{array}}\right. \begin{array}{llll} \displaystyle {\frac{\partial v}{\partial t}... ...pace{0.2cm}\ v\mid_{t=0} & = & v_0 & \mbox{dans } \mathbbm {R}^n, \end{array} \left.\vphantom{ \begin{array}{llll} \displaystyle {\frac{\parti... ...cm}\ v\mid_{t=0} & = & v_0 & \mbox{dans } \mathbbm {R}^n, \end{array}}\right.$$ (9)

pour lesquelles la condition initiale v₀ n'est pas connue explicitement. Cette incertitude provient par exemple de la modélisation d'un écoulement turbulent ou de l'imprécision d'appareils de mesures et est prise en compte en considérant une mesure de probabilité $\mu$ sur l'espace des conditions initiales de (9). Ce formalisme s'inscrit dans la théorie des solutions statistiques d'EDP (voir Vishik & Fursikov [VF88]).

Dans $\mathbbm {R}^2$, si b(.) est le noyau de Biot-Savart, (9) est l'équation de Navier-Stokes pour la vorticité d'un fluide incompressible. Dans ce cas, nous avons étudié la régularité des moments de la solution statistique de (9), puis nous avons montré comment se propage l'incertitude sur la donnée initiale : la distance de Wasserstein entre les solutions statistiques de conditions initiales $\mu$ et $\delta_{\omega_0}^{}$ est contrôlée par la distance de Wasserstein entre $\mu$ et $\delta_{\omega_0}^{}$.

Dans un deuxième temps, nous avons montré que des grandeurs statistiques telles que la vitesse moyenne ou les corrélations spatiales de la vitesse de l'écoulement peuvent être représentées grâce à un processus stochastique Y défini par

$$\left\{\vphantom{ \begin{array}{l} dY_t= u_t(Y_t,\Theta)dt + \sqr... ..._t) \vert \Theta=a \right] \ \mu := \mbox{ loi de }\Theta \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{l} dY_t= u_t(Y_t,\Theta)dt + \sqrt{2\nu} dB_t \ \... ...t[ K(x-Y_t) \vert \Theta=a \right] \ \mu := \mbox{ loi de }\Theta \end{array}$$ $$\left.\vphantom{ \begin{array}{l} dY_t= u_t(Y_t,\Theta)dt + \sqrt... ..._t) \vert \Theta=a \right] \ \mu := \mbox{ loi de }\Theta \end{array}}\right.$$

En utilisant différents estimateurs non paramétriques de régression (voir par exemple Bouleau & Lépingle [BL94], Juditsky, Zhang & al [AJa94]), nous simulons le processus Y par un système de particules en interactions du type

$$\left\{\vphantom{ \begin{array}{l} dY^{i,N}_t= \displaystyle \sum... ...e \int_A \; \omega_0(y)dy, \ \mu := \mbox{ loi de }\Theta \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{l} dY^{i,N}_t= \displaystyle \sum_{j=1}^N \alpha_{i... ...playstyle \int_A \; \omega_0(y)dy, \ \mu := \mbox{ loi de }\Theta \end{array}$$ $$\left.\vphantom{ \begin{array}{l} dY^{i,N}_t= \displaystyle \sum_... ...e \int_A \; \omega_0(y)dy, \ \mu := \mbox{ loi de }\Theta \end{array}}\right.$$

où les poids $\alpha_{ij}^{N}$ sont des variables aléatoires et K_{$\varepsilon$} est une régularisation de K. Une fois les particules initialisées, le coût de calcul pour simuler par exemple la vitesse moyenne de l'écoulement, est similaire à celui nécessaire pour simuler la vitesse correspondant à une condition initiale non aléatoire donnée.

Nous avons montré un résultat de propagation du chaos et effectué des essais numériques pour deux types de poids $\alpha_{ij}^{N}$. Nous étudions actuellement le système de particules dans le cas où le drift du processus Y est approché grâce à l'estimateur de Nadaraya-Watson.

Simulation de fluides viscoélastiques

Participants : Mireille Bossy, Denis Talay.

Mots clés : fluide viscoélastiques, polymères .

M. Bossy et D. Talay étudient, en collaboration avec M. Picasso (École Polytechnique Fédérale de Lausanne), un modèle moléculaire stochastique pour les fluides viscoélastiques. Des chaînes de polymères baignant dans un fluide sont modélisées par des haltères (deux billes liées par un ressort). Dans le cas d'un écoulement dans un canal plan, la dynamique d'une haltère est décrite par un système EDS en dimension 2 couplé à une EDP de type Navier-Stokes décrivant la vitesse du fluide. Après avoir étudié un modèle simple autorisant l'haltère à s'allonger indéfiniment, nous considérons maintenant le cas où l'élongation maximale de la chaîne de polymères est finie égale à b. Cela nous conduit à étudier un système couplé du type

 

$$\left\{\vphantom{ \begin{array}{l} \displaystyle dP_t(y) = -\frac... ...le \frac{P_y(y) Q_t(y)}{b - (P_t^2(y) -Q_t^2(y))}\right). \end{array} }\right. \begin{array}{l} \displaystyle dP_t(y) = -\frac{1}{2\lambda } \fr... ...isplaystyle \frac{P_y(y) Q_t(y)}{b - (P_t^2(y) -Q_t^2(y))}\right). \end{array} \left.\vphantom{ \begin{array}{l} \displaystyle dP_t(y) = -\frac{... ...le \frac{P_y(y) Q_t(y)}{b - (P_t^2(y) -Q_t^2(y))}\right). \end{array} }\right.$$ (10)

La démonstration de l'existence d'une solution à ce système est en cours, les essais numériques sont menés à l'EPFL par M. Picasso.

Livre en cours

Participant : Denis Talay.

D. Talay et L. Tubaro (université de Trento) poursuivent la rédaction de leur livre « Probabilistic Numerical Methods for Partial Differential Equations ».

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