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<!--Converted with LaTeX2HTML 98.1p1 release (March 2nd, 1998)
originally by Nikos Drakos (nikos@cbl.leeds.ac.uk), CBLU, University of Leeds
* revised and updated by:  Marcus Hennecke, Ross Moore, Herb Swan
* with significant contributions from:
  Jens Lippmann, Marek Rouchal, Martin Wilck and others -->

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  "HTML Tidy for Mac OS X (vers 31 October 2006 - Apple Inc. build 13), see www.w3.org">

  <title>Projet : ONDES - Etude des lignes de transmission
  supraconductrices</title>
  <meta name="description" content=
  "Etude des lignes de transmission supraconductrices">
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<body bgcolor="white">
  <a href="http://www.inria.fr/Equipes/ONDES-fra.html">Projet :
  ONDES</a>

  <p><a name="tex2html546" href="resul_module-28.html"><img width=
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  "../icons/previous_motif.gif"></a> <a name="tex2html552" href=
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  "ondes.html"><img width="24" height="24" align="bottom" border=
  "4" alt="contents" src="../icons/contents_motif.gif"></a><br>
  <b>Précédent :</b> <a name="tex2html547" href=
  "resul_module-28.html">Guides d'ondes electromagnétiques en
  Optique</a> <b>Remonter&nbsp;:</b> <a name="tex2html553" href=
  "resul.html">Résultats nouveaux</a> <b>Suivant&nbsp;:</b>
  <a name="tex2html556" href="resul_module-30.html">Ondes de
  surface en élasticité</a><br></p>
  <hr>

  <p><!--End of Navigation Panel--></p>

  <h2><a name="SECTION000615000000000000000">&nbsp;</a> <a name=
  "ONDES_resultats_module-29">&nbsp;</a><br>
  Etude des lignes de transmission supraconductrices</h2>

  <p><br>
  <br>
  <b>Participants :</b> Anne-Sophie Bonnet-Ben Dhia, Karim Ramdani,
  Patrick Joly, Eliane Bécache.<br>
  <br></p>

  <p><strong>Mots clés :</strong> <i>ligne microruban,
  supraconducteur, modèle de London, mode guidé .</i></p>

  <p>Le but poursuivi est de développer (puis de valider par
  comparaison à des mesures réalisées au LCR à Thomson) des
  méthodes numériques pour simuler la propagation dans les lignes
  microruban ou coplanaires supraconductrices qui sont utilisées en
  micro-électronique.</p>

  <p>Une ligne microruban supraconductrice est constituée d'un
  ruban supraconducteur mince déposé sur une couche de diélectrique
  qui repose elle-même sur un plan de masse que nous supposons
  parfaitement conducteur. En utilisant le modèle de London pour
  modéliser le caractère supraconducteur du ruban, on vérifie que
  tout se passe comme si le matériau supraconducteur avait une
  permittivité diélectrique négative à basse fréquence. Le
  changement de signe de la permittivité (négatif dans le
  supraconducteur et positif ailleurs) a des répercussions
  importantes sur l'approche mathématique.</p>

  <p>Nous avons tout d'abord abordé cette difficulté dans le cas
  d'un problème scalaire. Il s'agit alors d'étudier une équation du
  type</p>

  <div align="center">
    <a name="e1">&nbsp;</a> <!-- MATH: \begin{equation}
\mbox{div} (\varepsilon \nabla \varphi )=f
\end{equation} -->

    <table cellpadding="0" width="100%" align="center">
      <tr valign="middle">
        <td nowrap align="center">div(<img width="9" height="11"
        align="bottom" border="0" src="img16.gif" alt=
        "$\displaystyle \varepsilon$"><img width="14" height="12"
        align="bottom" border="0" src="img17.gif" alt=
        "$\displaystyle \nabla$"><img width="12" height="22" align=
        "middle" border="0" src="img18.gif" alt=
        "$\displaystyle \varphi$">) = <i>f</i></td>

        <td nowrap width="10" align="right">(1)</td>
      </tr>
    </table>
  </div><br clear="all">
  lorsque <!-- MATH: $\varepsilon$ -->
  <img width="9" height="11" align="bottom" border="0" src=
  "img19.gif" alt="$ \varepsilon$"> n'est pas de signe constant.
  L'opérateur étant non borné inférieurement, la stabilité du
  problème ne peut se déduire du théorème de Lax-Milgram mais
  repose sur l'écriture d'une équation intégrale sur la frontière
  du domaine où <!-- MATH: $\varepsilon$ -->
  <img width="9" height="11" align="bottom" border="0" src=
  "img19.gif" alt="$ \varepsilon$"> est négatif. On démontre alors
  que tout se passe "bien" si la frontière est régulière et si 
  <!-- MATH: $\varepsilon$ -->
  <img width="9" height="11" align="bottom" border="0" src=
  "img19.gif" alt="$ \varepsilon$"> ne prend pas des valeurs
  opposées de part et d'autre.

  <p>La situation est beaucoup plus délicate lorsque cette
  frontière présente des points anguleux. En effet, on montre que
  l'équation (<a href="resul_module-29.html#e1">1</a>) n'admet pas
  toujours une solution dans <i>H</i><sup>1</sup>. La théorie est
  alors étroitement reliée aux singularités du problème de
  transmission.</p>

  <p>L'étude de ce cas a fait l'objet d'une collaboration avec
  Monique Dauge (Université de Rennes), qui a abouti à une note aux
  Comptes Rendus de l'Académie des Sciences.</p>

  <p>Grâce aux résultats ci-dessus, nous avons été en mesure
  d'étudier les modes guidés par une ligne micro-ruban dans le cas
  d'un modèle scalaire simplifié. Outre le changement de signe de
  la permittivité, les difficultés sont la non-linéarité du
  problème vis-à-vis de la pulsation <img width="12" height="11"
  align="bottom" border="0" src="img5.gif" alt="$ \omega$"> (qui
  résulte du modèle de London) et le caractère non-borné de la
  section de la ligne. Mathématiquement, il s'agit d'un problème de
  théorie spectrale pour un opérateur autoadjoint qui n'est borné
  ni inférieurement ni supérieurement et qui a du spectre continu.
  Les modes guidés recherchés sont associés aux valeurs propres
  positives de l'opérateur. L'astuce consiste alors à appliquer le
  Principe du Min-Max à l'inverse de l'opérateur pour démontrer
  l'existence de telles valeurs propres. On montre ainsi
  l'existence de modes guidés par la ligne, le nombre de ces modes
  étant une fonction croissante de la largeur du ruban.</p>

  <p>Nous avons enfin considéré un modèle "de couche mince" qui
  permet de tenir compte dans le cadre du problème vectoriel de la
  présence d'un ruban supraconducteur d'épaisseur négligeable à
  l'aide d'une condition d'impédance appropriée. Ce problème
  comporte essentiellement deux difficultés. D'une part, il fait
  intervenir un espace fonctionnel de champs peu réguliers (en
  particulier, il n'est pas inclus dans <i>H</i><sup>1</sup>).
  D'autre part, la détermination du spectre continu de l'opérateur
  est beaucoup plus technique que dans le cas scalaire car les
  équations de Maxwell en milieu stratifié ne se découplent pas
  directement. Une fois ces deux difficultés résolues, le Principe
  du Min-max permet là encore de conclure à l'existence de modes
  guidés. En particulier, l'existence du mode fondamental est
  garantie à basse fréquence.</p>

  <p>La résolution numérique de ce problème par une méthode
  d'éléments finis nodaux est en cours d'implémentation.</p>

  <p><br></p>
  <hr>
  <a name="tex2html546" href="resul_module-28.html"><img width="24"
  height="24" align="bottom" border="4" alt="previous" src=
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  surface en élasticité</a>

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