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Ondes de
surface en élasticité
Participants : Anne-Sophie Bonnet-Ben Dhia, Karim Ramdani,
Patrick Joly, Eliane Bécache.
Mots clés : ligne microruban, supraconducteur, modèle de London, mode guidé .
Le but poursuivi est de développer (puis de valider par comparaison à des mesures réalisées au LCR à Thomson) des méthodes numériques pour simuler la propagation dans les lignes microruban ou coplanaires supraconductrices qui sont utilisées en micro-électronique.
Une ligne microruban supraconductrice est constituée d'un ruban supraconducteur mince déposé sur une couche de diélectrique qui repose elle-même sur un plan de masse que nous supposons parfaitement conducteur. En utilisant le modèle de London pour modéliser le caractère supraconducteur du ruban, on vérifie que tout se passe comme si le matériau supraconducteur avait une permittivité diélectrique négative à basse fréquence. Le changement de signe de la permittivité (négatif dans le supraconducteur et positif ailleurs) a des répercussions importantes sur l'approche mathématique.
Nous avons tout d'abord abordé cette difficulté dans le cas d'un problème scalaire. Il s'agit alors d'étudier une équation du type
n'est pas de signe constant.
L'opérateur étant non borné inférieurement, la stabilité du
problème ne peut se déduire du théorème de Lax-Milgram mais
repose sur l'écriture d'une équation intégrale sur la frontière
du domaine où
est négatif. On démontre alors
que tout se passe "bien" si la frontière est régulière et si
ne prend pas des valeurs
opposées de part et d'autre.
La situation est beaucoup plus délicate lorsque cette frontière présente des points anguleux. En effet, on montre que l'équation (1) n'admet pas toujours une solution dans H1. La théorie est alors étroitement reliée aux singularités du problème de transmission.
L'étude de ce cas a fait l'objet d'une collaboration avec Monique Dauge (Université de Rennes), qui a abouti à une note aux Comptes Rendus de l'Académie des Sciences.
Grâce aux résultats ci-dessus, nous avons été en mesure
d'étudier les modes guidés par une ligne micro-ruban dans le cas
d'un modèle scalaire simplifié. Outre le changement de signe de
la permittivité, les difficultés sont la non-linéarité du
problème vis-à-vis de la pulsation 
(qui
résulte du modèle de London) et le caractère non-borné de la
section de la ligne. Mathématiquement, il s'agit d'un problème de
théorie spectrale pour un opérateur autoadjoint qui n'est borné
ni inférieurement ni supérieurement et qui a du spectre continu.
Les modes guidés recherchés sont associés aux valeurs propres
positives de l'opérateur. L'astuce consiste alors à appliquer le
Principe du Min-Max à l'inverse de l'opérateur pour démontrer
l'existence de telles valeurs propres. On montre ainsi
l'existence de modes guidés par la ligne, le nombre de ces modes
étant une fonction croissante de la largeur du ruban.
Nous avons enfin considéré un modèle "de couche mince" qui permet de tenir compte dans le cadre du problème vectoriel de la présence d'un ruban supraconducteur d'épaisseur négligeable à l'aide d'une condition d'impédance appropriée. Ce problème comporte essentiellement deux difficultés. D'une part, il fait intervenir un espace fonctionnel de champs peu réguliers (en particulier, il n'est pas inclus dans H1). D'autre part, la détermination du spectre continu de l'opérateur est beaucoup plus technique que dans le cas scalaire car les équations de Maxwell en milieu stratifié ne se découplent pas directement. Une fois ces deux difficultés résolues, le Principe du Min-max permet là encore de conclure à l'existence de modes guidés. En particulier, l'existence du mode fondamental est garantie à basse fréquence.
La résolution numérique de ce problème par une méthode d'éléments finis nodaux est en cours d'implémentation.
) = f