Projet : Sharp - Mouvement dans le monde virtuel

Projet : Sharp

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Sous-sections

Mouvement dans le monde virtuel

Modèles et algorithmes de base

Participants : Diego d'Aulignac, Anton Deguet, Ammar Joukhadar, Christian Laugier.

Les derniers résultats et les différentes expérimentations menées au sein du projet ont permis de montrer qu'il est nécessaire d'utiliser une approche composite, qui mêle différents modèles pour les objets et les collisions, ainsi que différents algorithmes de calcul de distance et d'intégration des équations différentielles de la dynamique.

Modèles composites et algorithmes.

Pour les modèles d'objets, nous nous sommes attachés à développer et intégrer au sein d'un même simulateur des objets rigides grâce à la mécanique des solides et déformables basés sur un modèle masses-ressorts (nous envisageons la possibilité d'introduire d'autres modèles de déformation tels que les éléments finis). Ces recherches ainsi que les problèmes liés à l'identification des paramètres sont détaillées dans § 6.2.2 à partir de deux exemples concrets.

Pour les modèles d'interactions, qui dépendent fortement de la nature des objets en interaction, nous avons développé une approche qui permet de faire cohabiter un modèle de type impulsif (que ce soit de Newton ou Poisson) et un modèle de type pénalité (linéaire ou non linéaire visco-élastique, Hunt et Crossley). Ces travaux sont détaillés dans § 6.2.3.

Les algorithmes de calculs de distance sont quant à eux implantés en fonction de la nature des objets mis en jeu (rigides/déformables, convexes/concaves) afin d'adapter la complexité algorithmique au problème particulier considéré.

Méthodes d'intégration.

Pour chaque modèle, différentes méthodes d'intégration des équations différentielles sont possibles, numériques de type Newton-Euler ou Runge-Kutta, ou implicites (à pas de temps $\delta$ t fixe ou adaptatif).

Après avoir testé une méthode de type Newton-Euler avec un pas de temps adaptatif basé sur le critère d'énergie mécanique du système, nous avons effectué une étude comparative avec des méthodes de Runge-Kutta de différents ordres. Pour chacune de ces méthodes, nous avons testé des critères d'adaptation du pas de temps basé soit sur une estimation de l'erreur par comparaison avec un Runge-Kutta d'ordre supérieur, soit sur le critère d'énergie. En général, ces méthodes permettent d'augmenter le pas de temps $\delta$ t en présence de non-linéarités, tout en limitant les erreurs d'intégration. Cependant, ces approches restent très sensibles à la moindre rigidité dans le système (e.g. ressort rigide ou collision entre solides).

Afin de remédier aux problèmes d'instabilité liés à la rigidité des équations différentielles, nous étudions des solutions à partir de méthodes dites implicites. Ces méthodes permettent de prendre en compte une dérivée supplémentaire par le biais d'une approximation (calcul de la jacobienne du système $\nabla$ f) de la dynamique de l'ensemble de l'objet. Mathématiquement, cela donne

$\displaystyle \Delta$ Y $\displaystyle \left\lbrack\vphantom{ {1 \over \Delta t}I - \lambda(\nabla f) \vert _{Y=Y_0} }\right.$ $\displaystyle {1 \over \Delta t}$ I - $\displaystyle \lambda$ ( $\displaystyle \nabla$ f )|_{Y =
Y₀} $\displaystyle \left.\vphantom{ {1 \over \Delta t}I - \lambda(\nabla f) \vert _{Y=Y_0} }\right\rbrack$ = f (Y₀)

où I est la matrice d'identité, $\lambda$ $\in$ [0, 1] définit le point d'approximation de la dérivée sur l'intervalle $\delta$ t. Si $\lambda$ = 0, les dérivée sont approximées à t + 0 et on obtient une méthode explicite de type Newton-Euler, alors que si $\lambda$ = 1, les dérivées sont évaluées à t + $\delta$ t. En pratique, la stabilité est obtenue pour $\lambda$ $\geq$ 0.5.

Les premiers résultats confirment la stabilité de ces méthodes et montrent que pour des systèmes de grande taille, la matrice jacobienne explose (pour n degrés de libertés, matrice en n²). Nous devons donc utiliser le fait que ces matrices sont très creuses pour implanter des structures de données et des algorithmes de résolution de systèmes linéaires de type Ax = b qui soient optimisés (actuellement, nous utilisons une méthode de résolution directe, alors qu'une méthode de type descente de gradient convient mieux pour des système de grande taille).

Modélisation d'objets complexe et identification

Participants : François Boux De Casson, Cenk Cavosuglu, Diego d'Aulignac, Ammar Joukhadar, Christian Laugier.

**Figure 6:** Exemple de déformation du foie.
$\begin{figure} \centerline{ \psfig{figure=virtuel-res-a.ps,height=40mm} } \end{figure}$

Dans le cadre de l'action incitative AISIM (cf. § 8.2), nous avons pu tester l'ensemble des algorithmes implantés au sein de notre simulateur dynamique AlaDyn3D et réaliser nos premières simulations grandeur nature. En effet, le modèle de foie que nous utilisons est basé sur les données du ``visible man'' et contient environ 1500 facettes et 8000 tétraèdres (discrétisation volumique fournie par le mailleur GHS3D développé par le projet Gamma à Rocquencourt). Pour des objets de cette complexité, le modèle de déformation que nous utilisons conserve ses avantages pour ce qui est de la découpe, mais reste encore relativement lourd (10 à 1000 fois le temps réel sur une machine grand public de type Pentium II 300).

Par ailleurs, dans le cadre de la collaboration France-Berkeley (cf. § 8.4.4) et en coopération avec l'équipe GMCAO du laboratoire TIMC-IMAG, nous avons commencé une étude de modélisation d'une cuisse humaine pour intégrer une composante tactile au sein d'un simulateur d'entraînement pour le geste échographique. Dans un premier temps, nous avons procédé à une phase d'acquisition de données mécaniques et géométriques sur une cuisse réelle (celle de Diego D'Aulignac). Les données mécaniques correspondant aux forces statiques de réaction de la cuisse en fonction d'un déplacement fixé (enfoncement), ont été mesurées grâces à un robot de type PUMA doté d'un capteur d'efforts mis à notre disposition par le LIRMM. Les données géométriques (forme de la cuisse) ont été mesurées grâce à un capteur optique 3D (optotrack) prêté par l'équipe GMCAO.

**Figure 7:** Résistance de la cuisse à la pénétration et modèle multi-couches.
$\begin{figure} \centerline{ \psfig{figure=virtuel-res-b.ps,height=40mm} \hspace{3mm} \psfig{figure=virtuel-res-c.ps,height=40mm} } \end{figure}$

Ces données confirment le comportement non-linéaire de la cuisse soumise à des forces extérieures. Pour reproduire un comportement physique correct, nous utilisons un modèle qui prend en compte l'hétérogénéité de la cuisse par une discrétisation en couches superposées. Chaque couche possède des propriétés distinctes en fonctions des tissus modélisés ; les tissus gras peuvent être représentés par des ressorts biphasiques, les os par des corps rigides fixes, le derme et les muscles par un modèle visco-élastique.

Interactions

Participants : François Boux De Casson, Anton Deguet, Ammar Joukhadar, Christian Laugier.

Nous étudions trois aspects différents des interactions : la détection des interactions, le calcul des forces ou changements d'états engendrés par les collisions, et les effets sur les corps eux mêmes (déformations et changements de topologie tels que fractures ou découpes).

Détections des interactions

Peu de résultats nouveaux sont à signaler quant à la détection des interactions, si ce n'est quelques améliorations des algorithmes de Gilbert, Johnson et Keerthi au niveau de la stabilité numérique des critères d'arrêt. Ces modifications ont d'ores et déjà été intégrées au sein du simulateur AlaDyn3D.

Modèles de collisions.

Pour la modélisation des collisions elles-mêmes, notre problème principal est de faire cohabiter des modèles adaptés aux collisions entre objets rigides et des modèles adaptés aux collisions avec des corps déformables.

En effet, les modèles pour des collisions entre objets rigides peuvent partir de l'hypothèse que les collisions sont instantanées et donc utiliser des approches qui ne sont pas basées sur une intégration au cours du temps des forces de collisions. Les effets des collisions sont alors calculés en forces impulsives (unité Ns^-1).

Les collisions avec des objets déformables (que ce soit rigide/déformable ou déformable/déformable) ne peuvent pas partir de la même hypothèse d'instantanéité. En effet, l'ensemble des déformations du corps déformable va influencer sur la quantité d'énergie accumulée puis restitué. Il faut donc avoir un modèle continu dans le temps (par opposition à instantané) des forces de collision tel qu'un modèle de pénalité (unité N).

Il est important de noter que les modèles de type pénalité sont bien moins adaptés que les modèles impulsifs pour les collisions entre objets rigides. En effet, l'intégration continue des forces ou cours temps pour un phénomène très court et intense pose de sérieux problèmes d'intégration numérique. Nous proposons donc une approche algorithmique qui permet d'utiliser l'une ou l'autre des familles de modèles suivant la nature des objets en collision.

Cette combinaison reste physiquement correcte pour deux raisons. Premièrement, les deux modèles n'opèrent jamais simultanément puisque que le simulateur prend en compte les impulsions aux instants des collisions rigides, et les pénalités dans les intervalles de temps entre ces instants. Deuxièmement, les changements d'états produits par les modèles impulsifs (positions et vitesses) n'influent pas sur variables utilisées par les modèles de pénalité (forces).

Changements de topologie.

Pour des manipulations interactives de corps virtuels, et ce en particulier pour des applications médicales, les déformations seules ne suffisent pas. Il faut aussi avoir la possibilité de couper, casser ou déchirer, bref modifier la topologie du corps modélisé. Pour un objet discrétisé en 3D par des tétraèdres, cela signifie que des éléments de volumes doivent être subdivisés et détachés, tout en respectant les propriétés physiques de la matière (volume, masse, inertie, élasticité et plasticité).

Les modèles de type masses-ressorts classiques permettent de simuler la découpe en supprimant simplement une liaison entre deux masses. Le modèle masses-ressorts que nous avons développé utilise quant à lui une représentation volumique distincte dans la mesure où nous considérons des tétraèdres de matière dont la forme (via les arêtes) est régie par des fonctions visco-élastiques.

Nous avons développé des outils qui permettent de diviser dynamiquement un tétraèdre en deux tout en respectant les volumes, les masses et les propriétés de visco-élasticité. La couche géométrique de notre simulateur AlaDyn3D utilise une représentation de type DCEL (``Doubly Connected Edge List'') qui permet de retrouver en temps constant tous les voisins d'une arête, ce qui est nécessaire pour le type de remaillage que nous effectuons.

Footnotes

... GMCAO: Gestes Médicaux et Chirurgie Assistés par Ordinateur.
... TIMC-IMAG: Techniques de l'Imagerie, de la Modélisation et de la Cognition.
... LIRMM: Laboratoire d'Informatique, de Robotique et de Micro-électronique de Montpellier

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