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Participante : Marie-Christine Roubaud.
Mots clés : mouvement brownien fractionnaire, filtrage optimal .
Collaboration avec Marina Kleptsina ( IPPI, Moscou) et Alain Le Breton ( LMC, université Joseph Fourier).
Nous nous intéressons au problème de filtrage optimal pour des systèmes linéaires et non linéaires dans le cas où les bruits sont représentés par des mouvements browniens fractionnaires. Ce problème a déjà été étudié dans des cas spécifiques par plusieurs auteurs (Le Breton[LE 98a], travaux à paraître de M.L. Kleptsyna, P.E. Kloeden et V.V. Ahn) et dans un cadre plus général mais avec un système d'équations de forme spéciale par Coutin et L. Decreusefond.
Généralement la modélisation des bruits d'un système se fait par un processus de Markov. Cependant les phénomènes étudiés sont souvent à «mémoire longue»; c'est-à-dire que le comportement du processus «réel» après un instant t ne dépend pas seulement de sa position au temps t mais de toute l'histoire du processus jusqu'à l'instant t. Des études récentes ont mis en évidence que cette longue dépendance ne peut être, dans bien des cas, négligée. Le mouvement brownien fractionnaire (mbf), qui est une généralisation du mouvement brownien usuel, est un des processus les plus simples pour traduire la longue dépendance.
Le but de ce travail est de montrer qu'actuellement des développements similaires à ceux obtenus, par exemple par Liptzer et Shiryaev[LS77a,LS77b], dans le cadre classique où les processus d'état et d'observation sont des semi-martingales i.e. dans le cas où les bruits sont des mouvements browniens, peuvent être obtenus dans le cas où les bruits sont des mbf.
L'approche choisie est élémentaire et complètement autonome. Dans notre étude la principale difficulté résidant dans le fait que les processus d'état et d'observation ne sont pas des semi-martingales, l'idée de base est de leur associer des semi-martingales appropriées. Premièrement, on a démontré une formule du type Girsanov qui est une extension de celle proposée par Le Breton[LE 98b] et également par I. Norros, E. Valkeila et J. Virtamo (travaux à paraître). Puis on a introduit un processus qui joue ici le rôle que joue le processus d'innovation dans la situation usuelle où les bruits sont des mouvements browniens.
Dans le cas des systèmes linéaires conditionnellement gaussiens, une approche du type innovation a été développée. On a montré un résultat de représentation des martingales adaptées à la filtration de l'observation par rapport au processus de type innovation. Un système clos d'équations a été obtenu pour la moyenne du filtre optimal et la variance conditionnelle de l'erreur de filtrage. Dans divers cas particuliers, les résultats sont complètement explicites et notamment pour des bruits browniens on retrouve les équations du filtre de Kalman-Bucy.
Dans le cas non linéaire, l'approche dite dans le cas classique par probabilité de référence a été partiellement étendue pour obtenir certaines des équations du filtrage lorsque le processus d'état est une diffusion. La résolution complète du problème est un travail en cours.
Ces résultats sont partiellement présentés dans [[22]].
Mots clés : filtrage non linéaire optimal, approximation particulaire, simulation numérique, parallélisme .
Collaboration avec François Le Gland (projet SIGMA2).
Ces dernières années sont apparues de nouvelles méthodes pour résoudre numériquement le problème de filtrage non-linéaire, où la discrétisation spatiale n'est pas basée sur un schéma aux différences finies, mais sur une approche par un système de particules[CL97,DEL96,CDL98] (c'est-à-dire une combinaison linéaire de mesures de Dirac). L'attrait principal de ces méthodes est que la complexité de l'implémentation est à peu près indépendante de la dimension de l'équation d'état. De plus, certaines sont bien adaptées pour le calcul parallèle. Nous avons entrepris une évaluation précise des possibilités de chaque méthode de résolution, ainsi qu'une présentation homogène et didactique de ces méthodes. Dans ce cadre, un travail de revue sur les générateurs aléatoires parallèles est en cours.