Projet :
SYSDYS

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Analyse stochastique
Participant : Étienne Pardoux.
Mots clés : équations de Poisson .
Collaboration avec A. A. Veretennikov (
IPPI, Moscou).
Cette étude porte sur l'équation de Poisson dans
Rd, associée à un opérateur elliptique du
second ordre. On obtient, par des méthodes probabilistes, une
estimation de la croissance à l'infini de la solution, en
fonction de celle du second membre. Plus précisément, si :
avec
non dégénérée et On suppose en
outre qu'il existe
- 1, r
> 0, et M > 0(dans le cas
=
- 1, on impose que r soit «assez grand») tels que pour
tout | x| > M,
alors le processus
{Xt; t
0}
possède une unique mesure de probabilité invariante
.
On considère l'équation de Poisson dans
Rd :
Lu + f = 0,
avec f à croissance polynomiale à l'infini, et
f (x)
(dx) = 0.
On montre alors que cette équation possède comme unique
solution
-centrée la quantité :
u(
x) =
Exf
(
Xt)
dt.
En outre, on montre que
-
(i) Si, pour certains
< 0 et C > 0,
x
Rd,
|
f (
x)|
C(1 + |
x|)
+
- 1,
alors u est bornée, et :
|
u(
x)|
C(1 + |
x|)
(
+
-
1)+.
-
(ii) Si, en outre, il existe
,
C > 0 tels que :
|
f (
x)|
C(1 + |
x|)
+
- 1,
avec aussi, dans le cas
=
- 1 et
> 4,
2r >
d +
(
- 2)
, alors :
| u(x)| |
 |
C'(1 + |
x| ), |
|
| u(x)| |
 |
C'(1 + |
x|( + - 1)+ + |
x| ). |
|
Participant : Fabienne Castell.
Mots clés : équations de
réaction-diffusion, grandes déviations, renormalisation .
Collaboration avec Frédéric Pradeilles (Sup-Aéro,
Toulouse).
Les équations de réaction-diffusion interviennent dans l'étude
de modèles biologiques, de cinétique chimique, etc. Elles se
présentent sous la forme :
u(
t,
x)
=

u +
V(
x)
u +
c(
u)
u ,
u(0,
x) =
g(
x) ,
où u représente la densité d'une population. Les
premiers articles sur ces équations sont dus à Fisher, et à
Kolmogorov, Petrovski, et Piskunov [KPP37]. Dans les cas les
plus simples, ils ont mis en évidence l'existence d'un front
d'onde. L'état d'un point passe d'un équilibre instable à un
équilibre stable, la position du front caractérisant cette
transition. Depuis, ces équations ont été étudiées par de
nombreux auteurs [BS94,BES90,FRE85]. Plus récemment,
Fedotov[FED95,FED96]
s'est intéressé à ces équations dans le cas où V est un
champ aléatoire stationnaire et gaussien. Sans montrer
l'existence du front, il donne des bornes quant à sa position.
C'est dans la lignée de ces travaux que s'inscrit notre étude.
Nous nous intéressons plus particulièrement à montrer l'existence
du front (et à en donner une caractérisation) dans le cadre
simple où le champ gaussien V est du type shear
flow (cisaillement), i.e.
V(x1, x2) = (0,
v(x1)), v champ gaussien centré
stationnaire de densité spectrale intégrable. En reprenant la
démarche probabiliste initiée par Freidlin[FRE85,FL93] et reprise ensuite par
Ben Arous & Rouault[BDS93], Pradeilles[PRA95] etc., nous avons
commencé par nous intéresser aux grandes déviations
annealed du processus de diffusion:
X
t =
Bt +

V(

) d
s ,
t 
[0, 1] .
Soit donc
Q
la loi dans
du processus
X
(intégrée en
l'aléa de v), et
P
t
sa marginale à l'instant t. Les résultats que nous avons
obtenus sont les suivants :
- Grandes déviations pour les lois 1-dimensionnelles
: Si d = 2, et la fonction de covariance du champ
v est décroissante sur
R+, alors, pour tout
t
[0, 1],
P
t satisfait un bon
principe de grandes déviations.
- La famille
Q
est
exponentiellement tendue.
Cela nous permet de conclure que la famille
Q
satisfait
des principes de grandes déviations le long de sous-suites, et
donc de montrer l'existence du front le long de sous-suites pour
l'équation de réaction-diffusion.
Pour montrer l'existence du front, il nous faut donc
identifier ces principes de grandes déviations. Pour cela, il
nous faut montrer que, pour tout k, les lois
k-dimensionnelles vérifient un principe de grandes
déviations. Dans cette direction, nous avons obtenu la borne
inférieure des grandes déviations : soit
P
t1,
... , tk la loi de
(X
t1,
... , X
tk)
(intégrée en l'aléa de v) et G un ouvert de
R2k, alors :


log
P
t1,
... , tk(
G)

- inf{
It1,
... , tk(
x),
x
G} ,
où pour
(x1, x2)
R2k,
It1, ... ,
tk(x1, x2) =
+
, si
x1
0, de plus:
It1, ... ,
tk(0,
x2) = Inf


(
ti-
ti
- 1)
J(

)+
x2*(
Fij)
-1x2;

proba
sur
R
,
avec
J(
) = 
|
|2 dx
si
d
= f dx, +
sinon, et :
Fij = (
ti -
ti
- 1)(
tj -
tj -
1)
E(
dk)

(
k)

.
E désigne ici la mesure spectrale de v.
Nous ne sommes pas encore en mesure de donner la borne supérieure
correspondante.

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