Projet : SYSDYS

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Sous-sections


   
Analyse stochastique

Étude de l'équation de Poisson



Participant : Étienne Pardoux.

Mots clés : équations de Poisson .

Collaboration avec A. A. Veretennikov ( IPPI, Moscou).


Cette étude porte sur l'équation de Poisson dans Rd, associée à un opérateur elliptique du second ordre. On obtient, par des méthodes probabilistes, une estimation de la croissance à l'infini de la solution, en fonction de celle du second membre. Plus précisément, si :

L = $\displaystyle {\textstyle\frac{ 1}{2}}$$\displaystyle \sum_{i,j=1}^{d}$($\displaystyle \sigma$$\displaystyle \sigma^{\ast}_{}$)ij(x)$\displaystyle {\frac{\partial ^2}{\partial x_i\partial x_j}}$ + $\displaystyle \sum_{i=1}^{d}$bi(x)$\displaystyle {\frac{\partial}{\partial x_i}}$,
avec $ \sigma$ non dégénérée et On suppose en outre qu'il existe $ \alpha$ $ \geq$ - 1, r > 0, et M > 0(dans le cas $ \alpha$ = - 1, on impose que r soit «assez grand») tels que pour tout | x| > M,
$\displaystyle \langle$b(x) , $\displaystyle {\frac{x}{\vert x\vert}}$$\displaystyle \rangle$ $\displaystyle \leq$ - r| x|$\scriptstyle \alpha$ ,
alors le processus {Xtt $ \geq$ 0} possède une unique mesure de probabilité invariante $ \mu$.

On considère l'équation de Poisson dans Rd :

Lu + f = 0,
avec f à croissance polynomiale à l'infini, et $ \int$f (x)$ \mu$(dx) = 0.

On montre alors que cette équation possède comme unique solution $ \mu$-centrée la quantité :

u(x) = $\displaystyle \int_{0}^{\infty}$Exf (Xt)dt.
En outre, on montre que
(i)     Si, pour certains $ \beta$ < 0 et C > 0, x $ \in$ Rd,
| f (x)| $\displaystyle \leq$ C(1 + | x|)$\scriptstyle \beta$ + $\scriptstyle \alpha$ - 1,
alors u est bornée, et :
|$\displaystyle \nabla$u(x)| $\displaystyle \leq$ C(1 + | x|)($\scriptstyle \beta$ + $\scriptstyle \alpha$ - 1)+.
(ii) Si, en outre, il existe $ \beta$, C > 0 tels que :
| f (x)| $\displaystyle \leq$ C(1 + | x|)$\scriptstyle \beta$ + $\scriptstyle \alpha$ - 1,
avec aussi, dans le cas $ \alpha$ = - 1 et $ \beta$ > 4, 2r > $ \Lambda$d + ($ \beta$ - 2)$ \lambda_{+}^{}$, alors :
| u(x)| $\displaystyle \leq$ C'(1 + | x|$\scriptstyle \beta$),  
|$\displaystyle \nabla$u(x)| $\displaystyle \leq$ C'(1 + | x|($\scriptstyle \beta$ + $\scriptstyle \alpha$ - 1)+ + | x|$\scriptstyle \beta$).  

Renormalisation d'équations de réaction-diffusion en milieu aléatoire, et grandes déviations pour une diffusion dans une dérive de type shear flow



Participant : Fabienne Castell.

Mots clés : équations de réaction-diffusion, grandes déviations, renormalisation .

Collaboration avec Frédéric Pradeilles (Sup-Aéro, Toulouse).


Les équations de réaction-diffusion interviennent dans l'étude de modèles biologiques, de cinétique chimique, etc. Elles se présentent sous la forme :

$\displaystyle \partial_{t}^{}$u(t, x) = $\displaystyle {\textstyle\frac{ 1}{2}}$$\displaystyle \triangle$u + V(x)$\displaystyle \nabla$u + c(u)u , u(0, x) = g(x) ,
u représente la densité d'une population. Les premiers articles sur ces équations sont dus à Fisher, et à Kolmogorov, Petrovski, et Piskunov [KPP37]. Dans les cas les plus simples, ils ont mis en évidence l'existence d'un front d'onde. L'état d'un point passe d'un équilibre instable à un équilibre stable, la position du front caractérisant cette transition. Depuis, ces équations ont été étudiées par de nombreux auteurs [BS94,BES90,FRE85]. Plus récemment, Fedotov[FED95,FED96] s'est intéressé à ces équations dans le cas où V est un champ aléatoire stationnaire et gaussien. Sans montrer l'existence du front, il donne des bornes quant à sa position. C'est dans la lignée de ces travaux que s'inscrit notre étude. Nous nous intéressons plus particulièrement à montrer l'existence du front (et à en donner une caractérisation) dans le cadre simple où le champ gaussien V est du type shear flow (cisaillement), i.e. V(x1, x2) = (0, v(x1)), v champ gaussien centré stationnaire de densité spectrale intégrable. En reprenant la démarche probabiliste initiée par Freidlin[FRE85,FL93] et reprise ensuite par Ben Arous & Rouault[BDS93], Pradeilles[PRA95] etc., nous avons commencé par nous intéresser aux grandes déviations annealed du processus de diffusion:
X$\scriptstyle \epsilon$t = $\displaystyle \epsilon^{2/3}_{}$Bt + $\displaystyle \epsilon^{1/3}_{}$$\displaystyle \int_{0}^{t}$V($\displaystyle {\frac{X^{\epsilon}_s}{\epsilon}}$) ds  , t $\displaystyle \in$ [0, 1] .
Soit donc Q$\scriptstyle \epsilon$ la loi dans ${\cal C}([0,1], \mathbb R^d)$ du processus X$\scriptstyle \epsilon$ (intégrée en l'aléa de v), et P$\scriptstyle \epsilon$t sa marginale à l'instant t. Les résultats que nous avons obtenus sont les suivants : Cela nous permet de conclure que la famille Q$\scriptstyle \epsilon$ satisfait des principes de grandes déviations le long de sous-suites, et donc de montrer l'existence du front le long de sous-suites pour l'équation de réaction-diffusion.

Pour montrer l'existence du front, il nous faut donc identifier ces principes de grandes déviations. Pour cela, il nous faut montrer que, pour tout k, les lois k-dimensionnelles vérifient un principe de grandes déviations. Dans cette direction, nous avons obtenu la borne inférieure des grandes déviations : soit P$\scriptstyle \epsilon$t1, ... , tk la loi de (X$\scriptstyle \epsilon$t1, ... , X$\scriptstyle \epsilon$tk) (intégrée en l'aléa de v) et G un ouvert de R2k, alors :

$\displaystyle \liminf_{\epsilon \rightarrow 0}^{}$$\displaystyle \epsilon^{2/3}_{}$logP$\scriptstyle \epsilon$t1, ... , tk(G) $\displaystyle \geq$ - inf{It1, ... , tk(x), x $\displaystyle \in$ G}  ,
où pour (x1, x2) $ \in$ R2k, It1, ... , tk(x1, x2) = + $ \infty$, si x1 $ \neq$ 0, de plus:
It1, ... , tk(0, x2) = Inf$\displaystyle \left\{\vphantom{ { \sum_{i=1}^{k} (t_i - t_{i-1}) J(\mu_i) + \frac{1}{2} x_2^* (F_{ij})^{-1} x_2; \mu_i \mbox{ proba sur } \mathbb R} }\right.$$\displaystyle \sum_{i=1}^{k}$(ti-ti - 1)J($\displaystyle \mu_{i}^{}$)+$\displaystyle {\textstyle\frac{ 1}{2}}$x2*(Fij)-1x2;$\displaystyle \mu_{i}^{}$ proba sur R$\displaystyle \left.\vphantom{ { \sum_{i=1}^{k} (t_i - t_{i-1}) J(\mu_i) + \frac{1}{2} x_2^* (F_{ij})^{-1} x_2; \mu_i \mbox{ proba sur } \mathbb R} }\right\}$ ,
avec J($ \mu$) = $ {\frac{1}{2}}$$ \int$|$ \nabla$$ \sqrt{f}$|2 dx si d$ \mu$ = f dx, + $ \infty$ sinon, et :
Fij = (ti - ti - 1)(tj - tj - 1)$\displaystyle \int$E(dk)$\displaystyle \hat{\mu}_{i}^{}$(k)$\displaystyle \bar{\hat{\mu}_j(k)}$  .
E désigne ici la mesure spectrale de v.


Nous ne sommes pas encore en mesure de donner la borne supérieure correspondante.



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