Projet : SYSDYS

Précédent : Homogénéisation : Analyse et applications Remonter : Résultats nouveaux Suivant : Filtrage optimal

Sous-sections

• Étude de l'équation de Poisson
• Renormalisation d'équations de réaction-diffusion en milieu aléatoire, et grandes déviations pour une diffusion dans une dérive de type shear flow

   
Analyse stochastique

Étude de l'équation de Poisson

Participant : Étienne Pardoux.

Mots clés : équations de Poisson .

Collaboration avec A. A. Veretennikov ( IPPI, Moscou).

Cette étude porte sur l'équation de Poisson dans R^d, associée à un opérateur elliptique du second ordre. On obtient, par des méthodes probabilistes, une estimation de la croissance à l'infini de la solution, en fonction de celle du second membre. Plus précisément, si :

L = $${\textstyle\frac{ 1}{2}}$$$$\sum_{i,j=1}^{d}$$($$\sigma$$$$\sigma^{\ast}_{}$$)_ij(x)$${\frac{\partial ^2}{\partial x_i\partial x_j}}$$ + $$\sum_{i=1}^{d}$$b_i(x)$${\frac{\partial}{\partial x_i}}$$,

avec $\sigma$ non dégénérée et On suppose en outre qu'il existe $\alpha$ $\geq$ - 1, r > 0, et M > 0(dans le cas $\alpha$ = - 1, on impose que r soit «assez grand») tels que pour tout | x| > M,

$$\langle$$b(x) , $${\frac{x}{\vert x\vert}}$$$$\rangle$$ $$\leq$$ - r| x|^$\alpha$ ,

alors le processus {X_t; t $\geq$ 0} possède une unique mesure de probabilité invariante $\mu$.

On considère l'équation de Poisson dans R^d :

Lu + f = 0,

avec f à croissance polynomiale à l'infini, et $\int$f (x)$\mu$(dx) = 0.

On montre alors que cette équation possède comme unique solution $\mu$-centrée la quantité :

u(x) = $$\int_{0}^{\infty}$$E_xf (X_t)dt.

En outre, on montre que

(i)     Si, pour certains $\beta$ < 0 et C > 0, x $\in$ R^d,

| f (x)| $$\leq$$ C(1 + | x|)^{$\beta$ + $\alpha$ - 1},

alors u est bornée, et :

|$$\nabla$$u(x)| $$\leq$$ C(1 + | x|)^{($\beta$ + $\alpha$ - 1)+}.

(ii) Si, en outre, il existe $\beta$, C > 0 tels que :

| f (x)| $$\leq$$ C(1 + | x|)^{$\beta$ + $\alpha$ - 1},

avec aussi, dans le cas $\alpha$ = - 1 et $\beta$ > 4, 2r > $\Lambda$d + ($\beta$ - 2)$\lambda_{+}^{}$, alors :

$$\leq \beta$$ | u(x)|

$$\nabla \leq \beta \alpha \beta$$

Renormalisation d'équations de réaction-diffusion en milieu aléatoire, et grandes déviations pour une diffusion dans une dérive de type shear flow

Participant : Fabienne Castell.

Mots clés : équations de réaction-diffusion, grandes déviations, renormalisation .

Collaboration avec Frédéric Pradeilles (Sup-Aéro, Toulouse).

Les équations de réaction-diffusion interviennent dans l'étude de modèles biologiques, de cinétique chimique, etc. Elles se présentent sous la forme :

$$\partial_{t}^{}$$u(t, x) = $${\textstyle\frac{ 1}{2}}$$$$\triangle$$u + V(x)$$\nabla$$u + c(u)u , u(0, x) = g(x) ,

où u représente la densité d'une population. Les premiers articles sur ces équations sont dus à Fisher, et à Kolmogorov, Petrovski, et Piskunov [KPP37]. Dans les cas les plus simples, ils ont mis en évidence l'existence d'un front d'onde. L'état d'un point passe d'un équilibre instable à un équilibre stable, la position du front caractérisant cette transition. Depuis, ces équations ont été étudiées par de nombreux auteurs [BS94,BES90,FRE85]. Plus récemment, Fedotov[FED95,FED96] s'est intéressé à ces équations dans le cas où V est un champ aléatoire stationnaire et gaussien. Sans montrer l'existence du front, il donne des bornes quant à sa position. C'est dans la lignée de ces travaux que s'inscrit notre étude. Nous nous intéressons plus particulièrement à montrer l'existence du front (et à en donner une caractérisation) dans le cadre simple où le champ gaussien V est du type shear flow (cisaillement), i.e. V(x₁, x₂) = (0, v(x₁)), v champ gaussien centré stationnaire de densité spectrale intégrable. En reprenant la démarche probabiliste initiée par Freidlin[FRE85,FL93] et reprise ensuite par Ben Arous & Rouault[BDS93], Pradeilles[PRA95] etc., nous avons commencé par nous intéresser aux grandes déviations annealed du processus de diffusion:

X^$\epsilon$_t = $$\epsilon^{2/3}_{}$$B_t + $$\epsilon^{1/3}_{}$$$$\int_{0}^{t}$$V($${\frac{X^{\epsilon}_s}{\epsilon}}$$) ds  , t $$\in$$ [0, 1] .

Soit donc Q^$\epsilon$ la loi dans ${\cal C}([0,1], \mathbb R^d)$ du processus X^$\epsilon$ (intégrée en l'aléa de v), et P^$\epsilon$_t sa marginale à l'instant t. Les résultats que nous avons obtenus sont les suivants :

• Grandes déviations pour les lois 1-dimensionnelles : Si d = 2, et la fonction de covariance du champ v est décroissante sur R⁺, alors, pour tout t $\in$ [0, 1], P^$\epsilon$_t satisfait un bon principe de grandes déviations.
• La famille Q^$\epsilon$ est exponentiellement tendue.

Cela nous permet de conclure que la famille Q^$\epsilon$ satisfait des principes de grandes déviations le long de sous-suites, et donc de montrer l'existence du front le long de sous-suites pour l'équation de réaction-diffusion.

Pour montrer l'existence du front, il nous faut donc identifier ces principes de grandes déviations. Pour cela, il nous faut montrer que, pour tout k, les lois k-dimensionnelles vérifient un principe de grandes déviations. Dans cette direction, nous avons obtenu la borne inférieure des grandes déviations : soit P^$\epsilon$_{t1, ^... , tk} la loi de (X^$\epsilon$_t1, ^... , X^$\epsilon$_tk) (intégrée en l'aléa de v) et G un ouvert de R^2k, alors :

$$\liminf_{\epsilon \rightarrow 0}^{}$$$$\epsilon^{2/3}_{}$$logP^$\epsilon$_{t1, ^... , tk}(G) $$\geq$$ - inf{I_{t1, ^... , tk}(x), x $$\in$$ G}  ,

où pour (x₁, x₂) $\in$ R^2k, I_{t1, ^... , tk}(x₁, x₂) = + $\infty$, si x₁ $\neq$ 0, de plus:

I_{t1, ^... , tk}(0, x₂) = Inf$$\left\{\vphantom{ { \sum_{i=1}^{k} (t_i - t_{i-1}) J(\mu_i) + \frac{1}{2} x_2^* (F_{ij})^{-1} x_2; \mu_i \mbox{ proba sur } \mathbb R} }\right.$$$$\sum_{i=1}^{k}$$(t_i-t_{i - 1})J($$\mu_{i}^{}$$)+$${\textstyle\frac{ 1}{2}}$$x₂^*(F_ij)^-1x₂;$$\mu_{i}^{}$$ proba sur R$$\left.\vphantom{ { \sum_{i=1}^{k} (t_i - t_{i-1}) J(\mu_i) + \frac{1}{2} x_2^* (F_{ij})^{-1} x_2; \mu_i \mbox{ proba sur } \mathbb R} }\right\}$$ ,

avec J($\mu$) = ${\frac{1}{2}}$$\int$|$\nabla$$\sqrt{f}$|² dx si d$\mu$ = f dx, + $\infty$ sinon, et :

F_ij = (t_i - t_{i - 1})(t_j - t_{j - 1})$$\int$$E(dk)$$\hat{\mu}_{i}^{}$$(k)$$\bar{\hat{\mu}_j(k)}$$  .

E désigne ici la mesure spectrale de v.

Nous ne sommes pas encore en mesure de donner la borne supérieure correspondante.

Précédent : Homogénéisation : Analyse et applications Remonter : Résultats nouveaux Suivant : Filtrage optimal