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Mots clés : équations différentielles stochastiques rétrogrades, opérateurs sous forme divergence, homogénéisation .
Les opérateurs sous forme divergence :
Ce dernier n'est en général connu que par des propriétés statistiques, et, du fait d'un grand nombre de fractures, le coefficient de diffusion varie très rapidement.
L'un des moyens d'étudier la diffusion du pétrole dans un tel milieu consiste à utiliser des méthodes d'homogénéisation, c'est-à-dire à rechercher une limite aux solutions de l'équation :
Cette approche, initialisée dans Bensoussan et al[BLP78] a été appliquée dans le cas périodique à la famille d'opérateurs :
Mots clés : équations différentielles stochastiques rétrogrades, équations aux dérivées partielles semi-linéaires, homogénéisation .
Nous avons achevé l'étude de la convergence en loi d'Équations
Différentielles Stochastiques Rétrogrades ( EDSR)
de la forme :
Y![]() |
= | g(X![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
|
+ ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
L![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() |
Mots clés : équations différentielles stochastiques rétrogrades, équations aux dérivées partielles semi-linéaires, homogénéisation en milieu périodique .
On a établi un résultat d'homogénéisation pour des
EDP semi-linéaires, dans le cas de coefficients
périodiques, avec une non-linéarité fortement oscillante,
toujours par une méthode probabiliste utilisant les
EDSR. On considère l' EDP :
![]() |
= | L![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
|
u![]() |
= | u0(x) |
Enfin on suppose que f est mesurable et vérifie
:
(f (x, y) - f (x, y'))(y - y') | ![]() |
![]() |
|
| f (x, y)| | ![]() |
K(1 + | y|2), |
Enfin, u0 est supposée continue à croissance polynomiale à l'infini.
On définit pour chaque
1 i
k
et chaque
y
R la solution de l'équation
de Poisson sur
Td :
Sous des conditions supplémentaires assurant que la solution
de l' EDP ci-dessus est unique et «coïncide avec
la solution de l' EDSR correspondante», on a
u(t,
x)
u(t, x), où
uest la solution de l' EDP semi-linéaire :
A | = | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
|
C(y) | = | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
|
D(y) | = | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Mots clés : opérateurs paraboliques aléatoires, homogénéisation .
Collaboration avec A. Piatnitski (Institut Lebedev, Moscou) et M. Kleptsina ( IPPI, Moscou).
On s'intéresse au comportement asymptotique (
0) de la
solution
u
du problème
de Cauchy dans
Rn suivant :
Les coefficients a(z, y)et
c(z, y) sont z-périodiques sur le
tore. est un processus de diffusion
stationnaire ergodique, de générateur infinitésimal
, dont on suppose que la mesure invariante admet une
unique densité régulière
(y). Les
opérateurs
et
sont
supposés uniformément elliptiques.
Pour < 2 on obtient la convergence
faible de la loi
u
(t,
x) vers la loi limite non dégénérée solution d'un problème
de martingale. En effet, la loi de
u
converge
vers la loi de la solution de l'équation aux dérivées partielles
stochastique de la forme :
Pour = 2, on est dans le même cas de
figure. La loi de
u
converge
vers la loi de la solution de l' EDPS :
Alors que pour > 2, la loi limite
est dégénérée, i.e. concentrée sur la solution d'un problème de
Cauchy : la solution
u
converge en
probabilité vers la solution de l' EDP :
Mots clés : approximation multirésolution, calcul de coefficient effectifs .
Nous avons débuté une étude liée à des problèmes posés par l'ingénierie des réservoirs pétroliers. La complexité du milieu, le sous-sol, qui est très hétérogène et irrégulier, rend très complexe sa modélisation, en vue de simulations numériques. De plus nous ne pouvons mesurer les propriétés du sous-sol que sur de petits échantillons, ce qui nous donne une connaissance très partielle du milieu. Des méthodes géostatistiques nous permettent d'établir un modèle aléatoire pour les caractéristiques du milieu. Nous regarderons plus particulièrement le comportement de la perméabilité. Ce modèle se construit notamment à partir de la loi de la perméabilité locale et des corrélations, estimées d'après les données empiriques. Mais les codes de calculs utilisés dans l'industrie ne permettent pas une discrétisation aussi fine, et il est alors nécessaire de définir des coefficients «équivalents» à une échelle plus grossière.
Si les variations locales ne sont pas complètement erratiques, la théorie de l'homogénéisation établit, pour de larges classes de systèmes, que le comportement des coefficients hétérogènes à grande échelle est asymptotiquement celui d'un système du même type, à coefficients constants, appelés coefficients homogénéisés. C'est un problème typique de changement d'échelle (upscaling). L'analyse multirésolution permet d'approcher par des méthodes numériques les coefficients homogénéisés. Mieux, on obtient des coefficients, qualifiés d'équivalents, à toutes les échelles comprises entre la discrétisation la plus fine, et la plus grossière, où le coefficient se réduit à une seule valeur. Plus précisément, selon l'approche proposée par Beylkin [BC98], on projette l'équation considérée, ici l'équation de Darcy, sur une base d'ondelettes à une échelle donnée, puis on cherche l'équation de la même forme satisfaite par la solution à l'échelle supérieure. Les coefficients de cette nouvelle équation donnent alors les coefficients équivalents à l'échelle supérieure.
La difficulté consiste à trouver une base adaptée au problème pour garder toujours une équation du même type. Le problème reste ouvert pour la loi de Darcy en dimension plus grande que 1.