Projet : SYSDYS

Précédent : Résultats nouveaux Remonter : Résultats nouveaux Suivant : Analyse stochastique

Sous-sections

• Approche probabiliste de l'homogénéisation des opérateurs sous forme divergence
• Convergence en loi d'équations différentielles stochastiques rétrogrades
• Homogénéisation pour des EDP semi-linéaires, dans le cas de coefficients périodiques
• Homogénéisation d'opérateurs paraboliques aléatoires
• Approche multirésolution pour le calcul de coefficients effectifs

   
Homogénéisation : Analyse et applications

Approche probabiliste de l'homogénéisation des opérateurs sous forme divergence

Participants : Antoine Lejay, Étienne Pardoux.

Mots clés : équations différentielles stochastiques rétrogrades, opérateurs sous forme divergence, homogénéisation .

Les opérateurs sous forme divergence :

$$\sum_{i,j=1}^{d}$$$${\frac{\partial}{\partial x_i}}$$$$\left(\vphantom{a_{i,j}(\cdot)\frac{\partial}{ \partial x_j}}\right.$$a_{i, j}( ^. )$${\frac{\partial}{ \partial x_j}}$$ $$\left.\vphantom{a_{i,j}(\cdot)\frac{\partial}{ \partial x_j}}\right)$$ + $$\sum_{i=1}^{d}$$b_i( ^. )$${\frac{\partial}{\partial x_i}}$$ + c( ^. )

apparaissent dans la résolution de problèmes physiques, lorsque a est une matrice symétrique uniformément elliptique et les coefficients a, b et c sont bornés. Ils permettent notamment de caractériser la diffusion du pétrole dans un milieu pétrolier.

Ce dernier n'est en général connu que par des propriétés statistiques, et, du fait d'un grand nombre de fractures, le coefficient de diffusion varie très rapidement.

L'un des moyens d'étudier la diffusion du pétrole dans un tel milieu consiste à utiliser des méthodes d'homogénéisation, c'est-à-dire à rechercher une limite aux solutions de l'équation :

$${\frac{\partial u^\epsilon(t,x)}{\partial t}}$$ = $$\sum_{i,j=1}^{d}$$$${\frac{\partial}{\partial x_i}}$$$$\left(\vphantom{ a_{i,j}(x/\epsilon) \frac{\partial u^\epsilon(t,x)}{\partial x_j} }\right.$$a_{i, j}(x/$$\epsilon$$)$${\frac{\partial u^\epsilon(t,x)}{\partial x_j}}$$ $$\left.\vphantom{ a_{i,j}(x/\epsilon) \frac{\partial u^\epsilon(t,x)}{\partial x_j} }\right)$$ + $$\sum_{i=1}^{d}$$b_i(x/$$\epsilon$$)$${\frac{\partial u^\epsilon(t,x)}{\partial x_i}}$$ + c(x/$$\epsilon$$)u^$\epsilon$(t, x)

lorsque $\epsilon$ tend vers 0, en supposant que les coefficients sont périodiques ou correspondent à des milieux aléatoires. Cette limite est solution d'une équation aux dérivées partielles à coefficients constants obtenue en calculant certaines moyennes des coefficients sur le milieu. Bien que ce problème puisse être résolu de façon analytique, une approche probabiliste consistant à travailler sur les processus stochastiques engendrés par des tels opérateurs peut être envisagée. La convergence des solutions des équations paraboliques précédentes correspond à la convergence en loi de la famille de processus associés, qui est démontrée à l'aide de la théorie ergodique.

Cette approche, initialisée dans Bensoussan et al[BLP78] a été appliquée dans le cas périodique à la famille d'opérateurs :

$$\sum_{i,j=1}^d \frac{\partial}{\partial x_i}\left(a_{i,j}(\cd... ... x_i} +\frac{1}{\epsilon}d(\cdot/\epsilon) +e(\cdot/\epsilon).$$

Le cas des équations non-linéaires peut ensuite être traité par ces mêmes méthodes probabilistes, en s'aidant de Pardoux-Veretennikov [[5]].

Convergence en loi d'équations différentielles stochastiques rétrogrades

Participants : Guillaume Gaudron, Étienne Pardoux.

Mots clés : équations différentielles stochastiques rétrogrades, équations aux dérivées partielles semi-linéaires, homogénéisation .

Nous avons achevé l'étude de la convergence en loi d'Équations Différentielles Stochastiques Rétrogrades ( EDSR) de la forme :

$$\epsilon \epsilon \int_{t}^{T} \epsilon \epsilon \int_{t}^{T} \epsilon \epsilon \epsilon$$ =

$$\int_{t}^{T} \epsilon \epsilon \epsilon \epsilon \epsilon$$

où M^$\epsilon$ est une martingale guidée par la partie martingale de X^$\epsilon$, sous l'hypothèses de convergence en loi du processus X^$\epsilon$défini par son générateur, aléatoire ou périodique :

$$\epsilon {\textstyle\frac{ 1}{2}} \sum_{i,j=1}^{d} \sigma^{\epsilon }_{} \sigma^{\epsilon }_{} \partial_{x_i x_j}^{2} \epsilon \nabla$$

Grâce aux liens entre EDSR et EDP, nous obtenons ainsi des résultats d'homogénéisation pour des EDP ou systèmes d' EDP paraboliques semi-linéaires à coefficients aléatoires ou périodiques du type :

$$\left\{\vphantom{ \begin{array}{l} \partial_t u^k_\epsilon = {\ca... ...+z(\sigma^\epsilon)^*(t,x)h_1(t,x)+h_2(t,x,y)\vert z\vert^2 \end{array}}\right. \begin{array}{l} \partial_t u^k_\epsilon = {\cal L}^{\epsilon}u^k... ...0(t,x,y)+z(\sigma^\epsilon)^*(t,x)h_1(t,x)+h_2(t,x,y)\vert z\vert^2 \end{array} \left.\vphantom{ \begin{array}{l} \partial_t u^k_\epsilon = {\cal... ...+z(\sigma^\epsilon)^*(t,x)h_1(t,x)+h_2(t,x,y)\vert z\vert^2 \end{array}}\right.$$

Actuellement, nous étendons ces méthodes à des EDSR avec temps final aléatoire afin d'obtenir des résultats d'homogénéisation pour des EDP semi-linéaires elliptiques. Ces travaux ont donné lieux à deux rapports de recherche [[21],[20]].

Homogénéisation pour des EDP semi-linéaires, dans le cas de coefficients périodiques

Participant : Étienne Pardoux.

Mots clés : équations différentielles stochastiques rétrogrades, équations aux dérivées partielles semi-linéaires, homogénéisation en milieu périodique .

On a établi un résultat d'homogénéisation pour des EDP semi-linéaires, dans le cas de coefficients périodiques, avec une non-linéarité fortement oscillante, toujours par une méthode probabiliste utilisant les EDSR. On considère l' EDP :

$${\frac{\partial u^\varepsilon}{\partial t}} \varepsilon \varepsilon {\frac{1}{\varepsilon}} {\frac{x}{\varepsilon}} \varepsilon {\frac{x}{\varepsilon}} \varepsilon$$ =

$$\varepsilon$$ = u₀(x) 

On suppose que :

L^{$\varepsilon$} = $${\textstyle\frac{ 1}{2}}$$$$\sum_{i,j}^{}$$a_ij($${\frac{x}{\varepsilon}}$$)$${\frac{\partial ^2}{\partial x_i\partial x_j}}$$ + $${\frac{1}{\varepsilon}}$$$$\sum_{i}^{}$$b_i($${\frac{x}{\varepsilon}}$$)$${\frac{\partial}{\partial x_i}}$$ + $$\sum_{i}^{}$$c_i($${\frac{x}{\varepsilon}}$$)$${\frac{\partial}{\partial x_i}}$$,

avec a continue, b et c mesurables bornés, les trois coefficients sont périodiques de période 1 dans chaque direction, $a(x)\geq \alpha I > 0$, a_ij = a_ji, et $$\sum_{j=1}^{d}$$$${\frac{\partial a_{ij}}{\partial x_j}}$$ est une fonction bornée, 1 $\leq$ i $\leq$ k. On suppose que :

$$\int_{\mathbb T^d}^{}$$b_i(x)$$\mu$$(dx) = 0,  1 $$\leq$$ i $$\leq$$ k,

et aussi que

$$\int_{\mathbb T^d}^{}$$e(x, y)$$\mu$$(dx) = 0,  y $$\in$$ R,

où $\mu$ est l'unique probabilité invariante du processus {U_t; t $\geq$ 0} sur le tore T^d, solution de l'EDS :

d U_t = b(U_t)dt + $$\sigma$$(U_t)dB_t;  t $$\geq$$ 0.

On suppose en outre que e est de classe C_b² en y, uniformément par rapport à x.

Enfin on suppose que f est mesurable et vérifie :

$$\leq \mu$$ (f (x, y) - f (x, y'))(y - y')

$$\leq$$ | f (x, y)| K(1 + | y|²),

pour certains $\mu$, K et tous les x, y, y'.

Enfin, u₀ est supposée continue à croissance polynomiale à l'infini.

On définit pour chaque 1 $\leq$ i $\leq$ k et chaque y $\in$ R la solution de l'équation de Poisson sur T^d :

L $$\hat{b}_{i}^{}$$(x) + b_i(x) = 0,

L $$\hat{e}$$(x, y) + e(x, y) = 0.

Sous des conditions supplémentaires assurant que la solution de l' EDP ci-dessus est unique et «coïncide avec la solution de l' EDSR correspondante», on a u_{$\varepsilon$}(t, x)$\to$u(t, x), où uest la solution de l' EDP semi-linéaire :

$$\left\{\vphantom{ \begin{array}{ll} \displaystyle\frac{\partial u... ...}{\partial x_i}(t,x)+ D(u(t,x)),\ \hfill u(0,x)&=u_0(x), \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{ll} \displaystyle\frac{\partial u}{\partial t}(t,x)... ...artial u}{\partial x_i}(t,x)+ D(u(t,x)),\ \hfill u(0,x)&=u_0(x), \end{array}$$ $$\left.\vphantom{ \begin{array}{ll} \displaystyle\frac{\partial u}... ...}{\partial x_i}(t,x)+ D(u(t,x)),\ \hfill u(0,x)&=u_0(x), \end{array}}\right.$$

et :

$$\int_{\mathbb T^d}^{} \nabla \hat{b} \nabla \hat{b} \mu$$ A =

$$\int_{\mathbb T^d}^{} \left[\vphantom{(I+\nabla \hat{b})c+a\frac{\partial^2\hat{e}^\ast}{\partial x,\partial y}(\cdot,y))}\right. \nabla \hat{b} {\frac{\partial^2\hat{e}^\ast}{\partial x,\partial y}} \left.\vphantom{(I+\nabla \hat{b})c+a\frac{\partial^2\hat{e}^\ast}{\partial x,\partial y}(\cdot,y))}\right] \mu$$ C(y) =

$$\int_{\mathbb T^d}^{} {\frac{\partial \hat{e}}{\partial x}} {\frac{\partial \hat{e}}{\partial y}} {\frac{\partial^2\hat{e}}{\partial x \partial y}} {\frac{\partial \hat{e}^\ast}{\partial x}} \mu$$ D(y) =

Homogénéisation d'opérateurs paraboliques aléatoires

Participant : Fabien Campillo.

Mots clés : opérateurs paraboliques aléatoires, homogénéisation .

Collaboration avec A. Piatnitski (Institut Lebedev, Moscou) et M. Kleptsina ( IPPI, Moscou).

On s'intéresse au comportement asymptotique ( $\epsilon$ $\downarrow$ 0) de la solution u^$\epsilon$ du problème de Cauchy dans Rⁿ suivant :

$$u ^{\epsilon}_t(t,x) = \textstyle {\cal A}^\epsilon [u ^\e... ...}(t,x) \,, u ^{\epsilon}(0,x) = u_0(x) \,,\ t \in [0,T]$$

avec $\alpha$ > 0 fixé, ${\cal A}^\epsilon h(x) = \mbox{{\rm div}} \left(a({\textstyle \frac{x}{\epsilon}},y)\,\nabla h(x)\right)$

Les coefficients a(z, y)et c(z, y) sont z-périodiques sur le tore. $\xi_{t}^{}$ est un processus de diffusion stationnaire ergodique, de générateur infinitésimal ${\cal L}$, dont on suppose que la mesure invariante admet une unique densité régulière $\rho$(y). Les opérateurs ${\cal A}^1$ et ${\cal L}$ sont supposés uniformément elliptiques.

Pour $\alpha$ < 2 on obtient la convergence faible de la loi u^$\epsilon$(t, x) vers la loi limite non dégénérée solution d'un problème de martingale. En effet, la loi de u^$\epsilon$ converge vers la loi de la solution de l'équation aux dérivées partielles stochastique de la forme :

$$d\hat u(t,x) = \Big[ \mbox{{\rm div}}(\hat a\,\nabla \hat ... ...\, \hat u(t,x) \Big]\,dt + \lambda \,\hat u(t,x)\,d\hat W_t$$

où $\hat{W}_{t}^{}$ est un mouvement Brownien standard dans R et avec des coefficients homogénéisés que l'on sait caractériser (pour plus de détail cf. Campillo et al [[19]]).

Pour $\alpha$ = 2, on est dans le même cas de figure. La loi de u^$\epsilon$ converge vers la loi de la solution de l' EDPS : $$d\hat u(t,x) = \left[ \mbox{{\rm div}}( \hat a\,\nabla \ha... ... u(t,x) \right]\,dt + \lambda \,\hat u(t,x)\,d\hat W_t \,.$$

Alors que pour $\alpha$ > 2, la loi limite est dégénérée, i.e. concentrée sur la solution d'un problème de Cauchy : la solution u^$\epsilon$ converge en probabilité vers la solution de l' EDP : $$\hat u_t(t,x) = \mbox{{\rm div}}( \hat a\,\nabla \hat u(t,x)) + \hat c\, \hat u(t,x)\,.$$

Approche multirésolution pour le calcul de coefficients effectifs

Participants : Frédéric Cérou, Arnaud Martin, Bruno Torrésani.

Mots clés : approximation multirésolution, calcul de coefficient effectifs .

Nous avons débuté une étude liée à des problèmes posés par l'ingénierie des réservoirs pétroliers. La complexité du milieu, le sous-sol, qui est très hétérogène et irrégulier, rend très complexe sa modélisation, en vue de simulations numériques. De plus nous ne pouvons mesurer les propriétés du sous-sol que sur de petits échantillons, ce qui nous donne une connaissance très partielle du milieu. Des méthodes géostatistiques nous permettent d'établir un modèle aléatoire pour les caractéristiques du milieu. Nous regarderons plus particulièrement le comportement de la perméabilité. Ce modèle se construit notamment à partir de la loi de la perméabilité locale et des corrélations, estimées d'après les données empiriques. Mais les codes de calculs utilisés dans l'industrie ne permettent pas une discrétisation aussi fine, et il est alors nécessaire de définir des coefficients «équivalents» à une échelle plus grossière.

Si les variations locales ne sont pas complètement erratiques, la théorie de l'homogénéisation établit, pour de larges classes de systèmes, que le comportement des coefficients hétérogènes à grande échelle est asymptotiquement celui d'un système du même type, à coefficients constants, appelés coefficients homogénéisés. C'est un problème typique de changement d'échelle (upscaling). L'analyse multirésolution permet d'approcher par des méthodes numériques les coefficients homogénéisés. Mieux, on obtient des coefficients, qualifiés d'équivalents, à toutes les échelles comprises entre la discrétisation la plus fine, et la plus grossière, où le coefficient se réduit à une seule valeur. Plus précisément, selon l'approche proposée par Beylkin [BC98], on projette l'équation considérée, ici l'équation de Darcy, sur une base d'ondelettes à une échelle donnée, puis on cherche l'équation de la même forme satisfaite par la solution à l'échelle supérieure. Les coefficients de cette nouvelle équation donnent alors les coefficients équivalents à l'échelle supérieure.

La difficulté consiste à trouver une base adaptée au problème pour garder toujours une équation du même type. Le problème reste ouvert pour la loi de Darcy en dimension plus grande que 1.

Précédent : Résultats nouveaux Remonter : Résultats nouveaux Suivant : Analyse stochastique