<!DOCTYPE html PUBLIC "-//W3C//DTD HTML 3.2//EN">
<!--Converted with LaTeX2HTML 98.1p1 release (March 2nd, 1998)
originally by Nikos Drakos (nikos@cbl.leeds.ac.uk), CBLU, University of Leeds
* revised and updated by:  Marcus Hennecke, Ross Moore, Herb Swan
* with significant contributions from:
  Jens Lippmann, Marek Rouchal, Martin Wilck and others -->

<html>
<head>
  <meta name="generator" content=
  "HTML Tidy for Mac OS X (vers 31 October 2006 - Apple Inc. build 13), see www.w3.org">

  <title>Projet : SYSDYS - Homogénéisation : Analyse et
  applications</title>
  <meta name="description" content=
  "Homogénéisation : Analyse et applications">
  <meta name="keywords" content="sysdys">
  <meta name="resource-type" content="document">
  <meta name="distribution" content="global">
  <meta http-equiv="Content-Type" content=
  "text/html; charset=utf-8">
  <link rel="STYLESHEET" href="sysdys.css" type="text/css">
  <link rel="next" href="resul_analyse-sto.html">
  <link rel="previous" href="resul.html">
  <link rel="up" href="resul.html">
  <link rel="next" href="resul_analyse-sto.html">
</head>

<body bgcolor="white">
  <a href="http://www.inria.fr/Equipes/SYSDYS-fra.html">Projet :
  SYSDYS</a>

  <p><a name="tex2html183" href="resul.html"><img width="24"
  height="24" align="bottom" border="4" alt="previous" src=
  "../icons/previous_motif.gif"></a> <a name="tex2html189" href=
  "resul.html"><img width="24" height="24" align="bottom" border=
  "4" alt="up" src="../icons/up_motif.gif"></a> <a name=
  "tex2html192" href="resul_analyse-sto.html"><img width="24"
  height="24" align="bottom" border="4" alt="next" src=
  "../icons/next_motif.gif"></a> <a name="tex2html191" href=
  "sysdys.html"><img width="24" height="24" align="bottom" border=
  "4" alt="contents" src="../icons/contents_motif.gif"></a><br>
  <b>Précédent :</b> <a name="tex2html184" href=
  "resul.html">Résultats nouveaux</a> <b>Remonter&nbsp;:</b>
  <a name="tex2html190" href="resul.html">Résultats nouveaux</a>
  <b>Suivant&nbsp;:</b> <a name="tex2html193" href=
  "resul_analyse-sto.html">Analyse stochastique</a><br></p>
  <hr>

  <p><!--End of Navigation Panel-->
  <!--Table of Child-Links-->
  <a name="CHILD_LINKS"><strong>Sous-sections</strong></a></p>

  <ul>
    <li><a name="tex2html194" href=
    "resul_homogeneisation.html#SECTION00051100000000000000">Approche
    probabiliste de l'homogénéisation des opérateurs sous forme
    divergence</a></li>

    <li><a name="tex2html195" href=
    "resul_homogeneisation.html#SECTION00051200000000000000">Convergence
    en loi d'équations différentielles stochastiques
    rétrogrades</a></li>

    <li><a name="tex2html196" href=
    "resul_homogeneisation.html#SECTION00051300000000000000">Homogénéisation
    pour des <small>EDP</small> semi-linéaires, dans le cas de
    coefficients périodiques</a></li>

    <li><a name="tex2html197" href=
    "resul_homogeneisation.html#SECTION00051400000000000000">Homogénéisation
    d'opérateurs paraboliques aléatoires</a></li>

    <li><a name="tex2html198" href=
    "resul_homogeneisation.html#SECTION00051500000000000000">Approche
    multirésolution pour le calcul de coefficients
    effectifs</a></li>
  </ul><!--End of Table of Child-Links-->
  <hr>

  <h2><a name="SECTION00051000000000000000">&nbsp;</a> <a name=
  "SYSDYS_resultats_homogeneisation">&nbsp;</a><br>
  Homogénéisation : Analyse et applications</h2>

  <h3><a name="SECTION00051100000000000000">Approche probabiliste
  de l'homogénéisation des opérateurs sous forme
  divergence</a></h3><br>
  <br>
  <b>Participants :</b> Antoine Lejay, Étienne Pardoux.<br>
  <br>

  <p><strong>Mots clés :</strong> <i>équations différentielles
  stochastiques rétrogrades, opérateurs sous forme divergence,
  homogénéisation .</i></p>

  <p>Les opérateurs sous forme divergence : 
  <!-- MATH: \begin{displaymath}
\sum_{i,j=1}^d\frac{\partial}{\partial x_i}\left(a_{i,j}(\cdot)\frac{\partial}{
\partial
x_j}\right)
+\sum_{i=1}^d b_i(\cdot)\frac{\partial}{\partial x_i}+c(\cdot)
\end{displaymath} --></p>

  <div align="center">
    <img width="27" height="54" align="middle" border="0" src=
    "img3.gif" alt="$\displaystyle \sum_{i,j=1}^{d}$"><img width=
    "25" height="41" align="middle" border="0" src="img4.gif" alt=
    "$\displaystyle {\frac{\partial}{\partial x_i}}$"><img width=
    "14" height="43" align="middle" border="0" src="img5.gif" alt=
    "$\displaystyle \left(\vphantom{a_{i,j}(\cdot)\frac{\partial}{ \partial x_j}}\right.$"><i>a</i><sub>i,
    j</sub>( <sup>.</sup> )<img width="26" height="41" align=
    "middle" border="0" src="img6.gif" alt=
    "$\displaystyle {\frac{\partial}{ \partial x_j}}$"> <img width=
    "14" height="43" align="middle" border="0" src="img7.gif" alt=
    "$\displaystyle \left.\vphantom{a_{i,j}(\cdot)\frac{\partial}{ \partial x_j}}\right)$">
     + <img width="22" height="54" align="middle" border="0" src=
    "img8.gif" alt=
    "$\displaystyle \sum_{i=1}^{d}$"><i>b</i><sub>i</sub>(
    <sup>.</sup> )<img width="25" height="41" align="middle"
    border="0" src="img4.gif" alt=
    "$\displaystyle {\frac{\partial}{\partial x_i}}$"> + <i>c</i>(
    <sup>.</sup> )
  </div>apparaissent dans la résolution de problèmes physiques,
  lorsque <i>a</i> est une matrice symétrique uniformément
  elliptique et les coefficients <i>a</i>, <i>b</i> et <i>c</i>
  sont bornés. Ils permettent notamment de caractériser la
  diffusion du pétrole dans un milieu pétrolier.

  <p>Ce dernier n'est en général connu que par des propriétés
  statistiques, et, du fait d'un grand nombre de fractures, le
  coefficient de diffusion varie très rapidement.</p>

  <p>L'un des moyens d'étudier la diffusion du pétrole dans un tel
  milieu consiste à utiliser des méthodes d'homogénéisation,
  c'est-à-dire à rechercher une limite aux solutions de l'équation
  : <!-- MATH: \begin{displaymath}
\frac{\partial u^\epsilon(t,x)}{\partial t}
=
  \sum_{i,j=1}^d
  \frac{\partial}{\partial x_i}
     \left(
        a_{i,j}(x/\epsilon)
        \frac{\partial u^\epsilon(t,x)}{\partial x_j}
     \right)
   +
   \sum_{i=1}^d
      b_i(x/\epsilon)\frac{\partial u^\epsilon(t,x)}{\partial x_i}
   +
   c(x/\epsilon)u^\epsilon(t,x)

\end{displaymath} --></p>

  <div align="center">
    <img width="54" height="43" align="middle" border="0" src=
    "img9.gif" alt=
    "$\displaystyle {\frac{\partial u^\epsilon(t,x)}{\partial t}}$">
    = <img width="27" height="54" align="middle" border="0" src=
    "img3.gif" alt="$\displaystyle \sum_{i,j=1}^{d}$"><img width=
    "25" height="41" align="middle" border="0" src="img4.gif" alt=
    "$\displaystyle {\frac{\partial}{\partial x_i}}$"><img width=
    "14" height="43" align="middle" border="0" src="img10.gif" alt=
    "$\displaystyle \left(\vphantom{ a_{i,j}(x/\epsilon) \frac{\partial u^\epsilon(t,x)}{\partial x_j} }\right.$"><i>a</i><sub>i,
    j</sub>(<i>x</i>/<img width="9" height="11" align="bottom"
    border="0" src="img11.gif" alt=
    "$\displaystyle \epsilon$">)<img width="54" height="43" align=
    "middle" border="0" src="img12.gif" alt=
    "$\displaystyle {\frac{\partial u^\epsilon(t,x)}{\partial x_j}}$">
    <img width="14" height="43" align="middle" border="0" src=
    "img13.gif" alt=
    "$\displaystyle \left.\vphantom{ a_{i,j}(x/\epsilon) \frac{\partial u^\epsilon(t,x)}{\partial x_j} }\right)$">
     + <img width="22" height="54" align="middle" border="0" src=
    "img8.gif" alt=
    "$\displaystyle \sum_{i=1}^{d}$"><i>b</i><sub>i</sub>(<i>x</i>/<img width="9"
    height="11" align="bottom" border="0" src="img11.gif" alt=
    "$\displaystyle \epsilon$">)<img width="54" height="43" align=
    "middle" border="0" src="img14.gif" alt=
    "$\displaystyle {\frac{\partial u^\epsilon(t,x)}{\partial x_i}}$">
    + <i>c</i>(<i>x</i>/<img width="9" height="11" align="bottom"
    border="0" src="img11.gif" alt=
    "$\displaystyle \epsilon$">)<i>u</i><sup><img width="7" height=
    "10" align="bottom" border="0" src="img15.gif" alt=
    "$\scriptstyle \epsilon$"></sup>(<i>t</i>, <i>x</i>)
  </div>lorsque <img width="9" height="11" align="bottom" border=
  "0" src="img16.gif" alt="$ \epsilon$"> tend vers&nbsp;0, en
  supposant que les coefficients sont périodiques ou correspondent
  à des milieux aléatoires. Cette limite est solution d'une
  équation aux dérivées partielles à coefficients constants obtenue
  en calculant certaines moyennes des coefficients sur le milieu.
  Bien que ce problème puisse être résolu de façon analytique, une
  approche probabiliste consistant à travailler sur les processus
  stochastiques engendrés par des tels opérateurs peut être
  envisagée. La convergence des solutions des équations
  paraboliques précédentes correspond à la convergence en loi de la
  famille de processus associés, qui est démontrée à l'aide de la
  théorie ergodique.

  <p>Cette approche, initialisée dans Bensoussan et al[<a href=
  "bibliographie.html#bensoussan78b">BLP78</a>] a été appliquée
  dans le cas périodique à la famille d'opérateurs :</p>

  <div align="center">
    <!-- MATH: \begin{displaymath}
\htmlimage{scale=1.2}
\sum_{i,j=1}^d \frac{\partial}{\partial x_i}\left(a_{i,j}(\cdot/\epsilon)
\frac{\partial}{\partial x_j}\right)
+\frac{1}{\epsilon}b_i(\cdot/\epsilon)\frac{\partial }{\partial x_i}
+c_i(\cdot/\epsilon)\frac{\partial }{\partial x_i}
+\frac{1}{\epsilon}d(\cdot/\epsilon)
+e(\cdot/\epsilon).
\end{displaymath} -->
    <img width="400" height="48" src="img17.gif" alt=
    "\begin{displaymath}\sum_{i,j=1}^d \frac{\partial}{\partial x_i}\left(a_{i,j}(\cd... ... x_i} +\frac{1}{\epsilon}d(\cdot/\epsilon) +e(\cdot/\epsilon). \end{displaymath}">
  </div>Le cas des équations non-linéaires peut ensuite être traité
  par ces mêmes méthodes probabilistes, en s'aidant de
  <i>Pardoux-Veretennikov [<a href=
  "bibliographie.html#pardoux97a">[5]</a>]</i>.

  <h3><a name="SECTION00051200000000000000">Convergence en loi
  d'équations différentielles stochastiques
  rétrogrades</a></h3><br>
  <br>
  <b>Participants :</b> Guillaume Gaudron, Étienne Pardoux.<br>
  <br>

  <p><strong>Mots clés :</strong> <i>équations différentielles
  stochastiques rétrogrades, équations aux dérivées partielles
  semi-linéaires, homogénéisation .</i></p>

  <p>Nous avons achevé l'étude de la convergence en loi d'Équations
  Différentielles Stochastiques Rétrogrades ( <small>EDSR</small>)
  de la forme :<br></p>

  <div align="center">
    <!-- MATH: \begin{eqnarray*}
Y^\epsilon_t
&=&
  g(X^\epsilon_T)+\int_t^T  h_0(s,X^\epsilon_s,Y^\epsilon_s) \, ds
  +\int_t^T h_1(s,X_s^\epsilon)\,d<X^\epsilon,M^\epsilon>_s
  \\
  &&
  +\int_t^T  h_2(s,X^\epsilon_s,Y^\epsilon_s)\,d<M^\epsilon>_s+M^\epsilon_t-M^\epsilon_T\,,
\end{eqnarray*} -->

    <table cellpadding="0" align="center">
      <tr valign="middle">
        <td nowrap align="right"><i>Y</i><sup><img width="7"
        height="10" align="bottom" border="0" src="img15.gif" alt=
        "$\scriptstyle \epsilon$"></sup><sub>t</sub></td>

        <td width="10" align="center" nowrap>=</td>

        <td align="left" nowrap><i>g</i>(<i>X</i><sup><img width=
        "7" height="10" align="bottom" border="0" src="img15.gif"
        alt="$\scriptstyle \epsilon$"></sup><sub>T</sub>) +
        <img width="24" height="47" align="middle" border="0" src=
        "img18.gif" alt=
        "$\displaystyle \int_{t}^{T}$"><i>h</i><sub>0</sub>(<i>s</i>,
        <i>X</i><sup><img width="7" height="10" align="bottom"
        border="0" src="img15.gif" alt=
        "$\scriptstyle \epsilon$"></sup><sub>s</sub>,
        <i>Y</i><sup><img width="7" height="10" align="bottom"
        border="0" src="img15.gif" alt=
        "$\scriptstyle \epsilon$"></sup><sub>s</sub>)&nbsp;d<i>s</i>
        + <img width="24" height="47" align="middle" border="0"
        src="img18.gif" alt=
        "$\displaystyle \int_{t}^{T}$"><i>h</i><sub>1</sub>(<i>s</i>,
        <i>X</i><sub>s</sub><sup><img width="7" height="10" align=
        "bottom" border="0" src="img15.gif" alt=
        "$\scriptstyle \epsilon$"></sup>)&nbsp;<i>d</i> &lt;
        <i>X</i><sup><img width="7" height="10" align="bottom"
        border="0" src="img15.gif" alt=
        "$\scriptstyle \epsilon$"></sup>, <i>M</i><sup><img width=
        "7" height="10" align="bottom" border="0" src="img15.gif"
        alt="$\scriptstyle \epsilon$"></sup> &gt; <sub>s</sub></td>

        <td width="10" align="right">&nbsp;</td>
      </tr>

      <tr valign="middle">
        <td nowrap align="right">&nbsp;</td>

        <td>&nbsp;</td>

        <td align="left" nowrap>+ <img width="24" height="47"
        align="middle" border="0" src="img18.gif" alt=
        "$\displaystyle \int_{t}^{T}$"><i>h</i><sub>2</sub>(<i>s</i>,
        <i>X</i><sup><img width="7" height="10" align="bottom"
        border="0" src="img15.gif" alt=
        "$\scriptstyle \epsilon$"></sup><sub>s</sub>,
        <i>Y</i><sup><img width="7" height="10" align="bottom"
        border="0" src="img15.gif" alt=
        "$\scriptstyle \epsilon$"></sup><sub>s</sub>)&nbsp;d &lt;
        <i>M</i><sup><img width="7" height="10" align="bottom"
        border="0" src="img15.gif" alt=
        "$\scriptstyle \epsilon$"></sup> &gt; <sub>s</sub> +
        <i>M</i><sup><img width="7" height="10" align="bottom"
        border="0" src="img15.gif" alt=
        "$\scriptstyle \epsilon$"></sup><sub>t</sub> -
        <i>M</i><sup><img width="7" height="10" align="bottom"
        border="0" src="img15.gif" alt=
        "$\scriptstyle \epsilon$"></sup><sub>T</sub>&nbsp;,</td>

        <td width="10" align="right">&nbsp;</td>
      </tr>
    </table>
  </div><br clear="all">
  où <!-- MATH: $M^\epsilon$ -->
  <i>M</i><sup><img width="7" height="10" align="bottom" border="0"
  src="img19.gif" alt="$\scriptstyle \epsilon$"></sup> est une
  martingale guidée par la partie martingale de 
  <!-- MATH: $X^\epsilon$ -->
  <i>X</i><sup><img width="7" height="10" align="bottom" border="0"
  src="img19.gif" alt="$\scriptstyle \epsilon$"></sup>, sous
  l'hypothèses de convergence en loi du processus 
  <!-- MATH: $X^\epsilon$ -->
  <i>X</i><sup><img width="7" height="10" align="bottom" border="0"
  src="img19.gif" alt="$\scriptstyle \epsilon$"></sup>défini par
  son générateur, aléatoire ou périodique :<br>

  <div align="center">
    <!-- MATH: \begin{eqnarray*}
{\cal L}^{\epsilon }
=
  \frac 12
  \sum _{i,j=1}^d [{\sigma ^{\epsilon }}({\sigma ^{\epsilon}})^*]_{i,j}(t,x) 
       \partial_{ x_i x_j} ^2 +v^{\epsilon  }(t,x).\nabla.

\end{eqnarray*} -->

    <table cellpadding="0" align="center">
      <tr valign="middle">
        <td nowrap align="right"><i>L</i><sup><img width="7"
        height="10" align="bottom" border="0" src="img15.gif" alt=
        "$\scriptstyle \epsilon$"></sup> = <img width="11" height=
        "28" align="middle" border="0" src="img20.gif" alt=
        "$\displaystyle {\textstyle\frac{ 1}{2}}$"><img width="27"
        height="54" align="middle" border="0" src="img3.gif" alt=
        "$\displaystyle \sum_{i,j=1}^{d}$">[<img width="16" height=
        "24" align="middle" border="0" src="img21.gif" alt=
        "$\displaystyle \sigma^{\epsilon }_{}$">(<img width="16"
        height="24" align="middle" border="0" src="img21.gif" alt=
        "$\displaystyle \sigma^{\epsilon }_{}$">)<sup>*</sup>]<sub>i,
        j</sub>(<i>t</i>, <i>x</i>)<img width="31" height="29"
        align="middle" border="0" src="img22.gif" alt=
        "$\displaystyle \partial_{x_i x_j}^{2}$"> +
        <i>v</i><sup><img width="7" height="10" align="bottom"
        border="0" src="img15.gif" alt=
        "$\scriptstyle \epsilon$"></sup>(<i>t</i>,
        <i>x</i>).<img width="14" height="12" align="bottom"
        border="0" src="img23.gif" alt=
        "$\displaystyle \nabla$">.</td>

        <td>&nbsp;</td>

        <td>&nbsp;</td>

        <td width="10" align="right">&nbsp;</td>
      </tr>
    </table>
  </div><br clear="all">
  Grâce aux liens entre <small>EDSR</small> et <small>EDP</small>,
  nous obtenons ainsi des résultats d'homogénéisation pour des
  <small>EDP</small> ou systèmes d' <small>EDP</small> paraboliques
  semi-linéaires à coefficients aléatoires ou périodiques du type
  :<br>

  <div align="center">
    <!-- MATH: \begin{eqnarray*}
\left\{ \begin{array}{l}
\partial_t u^k_\epsilon
  =
  {\cal L}^{\epsilon}u^k_\epsilon
  +
  h^\epsilon(t,x,u_\epsilon,\nabla u_\epsilon \sigma^{\epsilon})\\
  u^k_\epsilon (t=0,x)
  =g_k(x)
  \\
  1\leq k \leq n\\
  h^\epsilon(t,x,y,z) 
  =
  h_0(t,x,y)+z(\sigma^\epsilon)^*(t,x)h_1(t,x)+h_2(t,x,y)|z|^2
\end{array}
\right.

\end{eqnarray*} -->

    <table cellpadding="0" align="center">
      <tr valign="middle">
        <td nowrap align="right"><img width="16" height="77" align=
        "middle" border="0" src="img24.gif" alt=
        "$\displaystyle \left\{\vphantom{ \begin{array}{l} \partial_t u^k_\epsilon = {\ca... ...+z(\sigma^\epsilon)^*(t,x)h_1(t,x)+h_2(t,x,y)\vert z\vert^2 \end{array}}\right.$"><img width="361"
        height="77" align="middle" border="0" src="img25.gif" alt=
        "$\displaystyle \begin{array}{l} \partial_t u^k_\epsilon = {\cal L}^{\epsilon}u^k... ...0(t,x,y)+z(\sigma^\epsilon)^*(t,x)h_1(t,x)+h_2(t,x,y)\vert z\vert^2 \end{array}$">
        <img width="6" height="77" align="middle" border="0" src=
        "img26.gif" alt=
        "$\displaystyle \left.\vphantom{ \begin{array}{l} \partial_t u^k_\epsilon = {\cal... ...+z(\sigma^\epsilon)^*(t,x)h_1(t,x)+h_2(t,x,y)\vert z\vert^2 \end{array}}\right.$">
        </td>

        <td>&nbsp;</td>

        <td>&nbsp;</td>

        <td width="10" align="right">&nbsp;</td>
      </tr>
    </table>
  </div><br clear="all">
  Actuellement, nous étendons ces méthodes à des
  <small>EDSR</small> avec temps final aléatoire afin d'obtenir des
  résultats d'homogénéisation pour des <small>EDP</small>
  semi-linéaires elliptiques. Ces travaux ont donné lieux à deux
  rapports de recherche [<a href=
  "bibliographie.html#gaudron98b">[21]</a>,<a href=
  "bibliographie.html#gaudron98c">[20]</a>].

  <h3><a name="SECTION00051300000000000000">Homogénéisation pour
  des <small>EDP</small> semi-linéaires, dans le cas de
  coefficients périodiques</a></h3><br>
  <br>
  <b>Participant :</b> Étienne Pardoux.<br>
  <br>

  <p><strong>Mots clés :</strong> <i>équations différentielles
  stochastiques rétrogrades, équations aux dérivées partielles
  semi-linéaires, homogénéisation en milieu périodique .</i></p>

  <p>On a établi un résultat d'homogénéisation pour des
  <small>EDP</small> semi-linéaires, dans le cas de coefficients
  périodiques, avec une non-linéarité fortement oscillante,
  toujours par une méthode probabiliste utilisant les
  <small>EDSR</small>. On considère l' <small>EDP</small> :<br></p>

  <div align="center">
    <!-- MATH: \begin{eqnarray*}
\frac{\partial u^\varepsilon}{\partial t}(t,x)
&=&
  L^\varepsilon u^\varepsilon(t,x)
  +\frac{1}{\varepsilon}
   e(\frac{x}{\varepsilon},u^\varepsilon(t,x))
  +f(\displaystyle\frac{x}{\varepsilon},u^\varepsilon(t,x))\,,
  \\
  u^\varepsilon(0,x)&=&u_0(x)\,
\end{eqnarray*} -->

    <table cellpadding="0" align="center">
      <tr valign="middle">
        <td nowrap align="right"><img width="26" height="41" align=
        "middle" border="0" src="img27.gif" alt=
        "$\displaystyle {\frac{\partial u^\varepsilon}{\partial t}}$">(<i>t</i>,
        <i>x</i>)</td>

        <td width="10" align="center" nowrap>=</td>

        <td align="left" nowrap><i>L</i><sup><img width="8" height=
        "11" align="bottom" border="0" src="img28.gif" alt=
        "$\scriptstyle \varepsilon$"></sup><i>u</i><sup><img width=
        "8" height="11" align="bottom" border="0" src="img28.gif"
        alt="$\scriptstyle \varepsilon$"></sup>(<i>t</i>, <i>x</i>)
        + <img width="13" height="40" align="middle" border="0"
        src="img29.gif" alt=
        "$\displaystyle {\frac{1}{\varepsilon}}$"><i>e</i>(<img width="14"
        height="34" align="middle" border="0" src="img30.gif" alt=
        "$\displaystyle {\frac{x}{\varepsilon}}$">,
        <i>u</i><sup><img width="8" height="11" align="bottom"
        border="0" src="img28.gif" alt=
        "$\scriptstyle \varepsilon$"></sup>(<i>t</i>, <i>x</i>)) +
        <i>f</i> (<img width="14" height="34" align="middle"
        border="0" src="img30.gif" alt=
        "$\displaystyle {\frac{x}{\varepsilon}}$">,
        <i>u</i><sup><img width="8" height="11" align="bottom"
        border="0" src="img28.gif" alt=
        "$\scriptstyle \varepsilon$"></sup>(<i>t</i>,
        <i>x</i>))&nbsp;,</td>

        <td width="10" align="right">&nbsp;</td>
      </tr>

      <tr valign="middle">
        <td nowrap align="right"><i>u</i><sup><img width="8"
        height="11" align="bottom" border="0" src="img28.gif" alt=
        "$\scriptstyle \varepsilon$"></sup>(0, <i>x</i>)</td>

        <td width="10" align="center" nowrap>=</td>

        <td align="left" nowrap>
        <i>u</i><sub>0</sub>(<i>x</i>)&nbsp;</td>

        <td width="10" align="right">&nbsp;</td>
      </tr>
    </table>
  </div><br clear="all">
  On suppose que : <!-- MATH: \begin{displaymath}
L^\varepsilon=\frac{1}{2}\sum_{i,j}a_{ij}(\frac{x}{\varepsilon})\frac{\partial
^2}{\partial x_i\partial
x_j}+\frac{1}{\varepsilon}\sum_ib_i(\frac{x}{\varepsilon})\frac{\partial}{\partial
x_i}+\sum_ic_i(\frac{x}{\varepsilon})\frac{\partial}{\partial x_i},
\end{displaymath} -->

  <div align="center">
    <i>L</i><sup><img width="8" height="11" align="bottom" border=
    "0" src="img28.gif" alt="$\scriptstyle \varepsilon$"></sup> =
    <img width="11" height="28" align="middle" border="0" src=
    "img20.gif" alt=
    "$\displaystyle {\textstyle\frac{ 1}{2}}$"><img width="22"
    height="43" align="middle" border="0" src="img31.gif" alt=
    "$\displaystyle \sum_{i,j}^{}$"><i>a</i><sub>ij</sub>(<img width="14"
    height="34" align="middle" border="0" src="img30.gif" alt=
    "$\displaystyle {\frac{x}{\varepsilon}}$">)<img width="46"
    height="45" align="middle" border="0" src="img32.gif" alt=
    "$\displaystyle {\frac{\partial ^2}{\partial x_i\partial x_j}}$">
    + <img width="13" height="40" align="middle" border="0" src=
    "img29.gif" alt=
    "$\displaystyle {\frac{1}{\varepsilon}}$"><img width="22"
    height="41" align="middle" border="0" src="img33.gif" alt=
    "$\displaystyle \sum_{i}^{}$"><i>b</i><sub>i</sub>(<img width=
    "14" height="34" align="middle" border="0" src="img30.gif" alt=
    "$\displaystyle {\frac{x}{\varepsilon}}$">)<img width="25"
    height="41" align="middle" border="0" src="img4.gif" alt=
    "$\displaystyle {\frac{\partial}{\partial x_i}}$"> +
    <img width="22" height="41" align="middle" border="0" src=
    "img33.gif" alt=
    "$\displaystyle \sum_{i}^{}$"><i>c</i><sub>i</sub>(<img width=
    "14" height="34" align="middle" border="0" src="img30.gif" alt=
    "$\displaystyle {\frac{x}{\varepsilon}}$">)<img width="25"
    height="41" align="middle" border="0" src="img4.gif" alt=
    "$\displaystyle {\frac{\partial}{\partial x_i}}$">,
  </div>avec <i>a</i> continue, <i>b</i> et <i>c</i> mesurables
  bornés, les trois coefficients sont périodiques de période 1 dans
  chaque direction, 
  <!-- MATH: $\htmlimage{}a(x)\geq \alpha I > 0$ -->
  <img width="84" height="25" align="middle" border="0" src=
  "img34.gif" alt="$a(x)\geq \alpha I &gt; 0$">, 
  <!-- MATH: $a_{ij}=a_{ji}$ -->
  <i>a</i><sub>ij</sub> = <i>a</i><sub>ji</sub>, et 
  <!-- MATH: $\displaystyle
\sum_{j=1}^d \frac{\partial a_{ij}}{\partial x_j}$ -->
  <img width="22" height="54" align="middle" border="0" src=
  "img35.gif" alt="$\displaystyle \sum_{j=1}^{d}$"><img width="29"
  height="41" align="middle" border="0" src="img36.gif" alt=
  "$\displaystyle {\frac{\partial a_{ij}}{\partial x_j}}$"> est une
  fonction bornée, <!-- MATH: $1\leq i \leq k$ -->
  1 <img width="13" height="22" align="middle" border="0" src=
  "img37.gif" alt="$ \leq$"> <i>i</i> <img width="13" height="22"
  align="middle" border="0" src="img37.gif" alt="$ \leq$">
  <i>k</i>. On suppose que : <!-- MATH: \begin{displaymath}
\int_{\mathbb T^d} b_i(x)\mu(dx)=0,\:\:1\leq i \leq k,
\end{displaymath} -->

  <div align="center">
    <img width="23" height="41" align="middle" border="0" src=
    "img38.gif" alt=
    "$\displaystyle \int_{\mathbb T^d}^{}$"><i>b</i><sub>i</sub>(<i>x</i>)<img width="11"
    height="22" align="middle" border="0" src="img39.gif" alt=
    "$\displaystyle \mu$">(<i>dx</i>) = 0,&nbsp;&nbsp;1 <img width=
    "13" height="22" align="middle" border="0" src="img40.gif" alt=
    "$\displaystyle \leq$"> <i>i</i> <img width="13" height="22"
    align="middle" border="0" src="img40.gif" alt=
    "$\displaystyle \leq$"> <i>k</i>,
  </div>et aussi que <!-- MATH: \begin{displaymath}
\int_{\mathbb T^d}e(x,y)\mu(dx)=0,\:\: y \in \mathbb R,
\end{displaymath} -->

  <div align="center">
    <img width="23" height="41" align="middle" border="0" src=
    "img38.gif" alt=
    "$\displaystyle \int_{\mathbb T^d}^{}$"><i>e</i>(<i>x</i>,
    <i>y</i>)<img width="11" height="22" align="middle" border="0"
    src="img39.gif" alt="$\displaystyle \mu$">(<i>dx</i>) =
    0,&nbsp;&nbsp;<i>y</i> <img width="12" height="22" align=
    "middle" border="0" src="img41.gif" alt="$\displaystyle \in$">
    <i>R</i>,
  </div>où <img width="11" height="22" align="middle" border="0"
  src="img42.gif" alt="$ \mu$"> est l'unique probabilité invariante
  du processus <!-- MATH: $\{U_t;\:t
\geq 0\}$ -->
  {<i>U</i><sub>t</sub>;&nbsp;<i>t</i> <img width="13" height="22"
  align="middle" border="0" src="img43.gif" alt="$ \geq$"> 0} sur
  le tore <!-- MATH: $\mathbb T^d$ -->
  <i>T</i><sup>d</sup>, solution de l'EDS : 
  <!-- MATH: \begin{displaymath}
d\:U_t=b(U_t)dt +\sigma(U_t) dB_t;\:\:t \geq 0.
\end{displaymath} -->

  <div align="center">
    <i>d</i>&nbsp;<i>U</i><sub>t</sub> =
    <i>b</i>(<i>U</i><sub>t</sub>)<i>dt</i> + <img width="11"
    height="11" align="bottom" border="0" src="img44.gif" alt=
    "$\displaystyle \sigma$">(<i>U</i><sub>t</sub>)<i>dB</i><sub>t</sub>;&nbsp;&nbsp;<i>t</i>
    <img width="13" height="22" align="middle" border="0" src=
    "img45.gif" alt="$\displaystyle \geq$"> 0.
  </div>On suppose en outre que <i>e</i> est de classe
  <i>C</i><sub>b</sub><sup>2</sup> en <i>y</i>, uniformément par
  rapport à <i>x</i>.

  <p>Enfin on suppose que <i>f</i> est mesurable et vérifie
  :<br></p>

  <div align="center">
    <!-- MATH: \begin{eqnarray*}
(f(x,y)-f(x,y'))(y-y')&\leq& \mu|y-y'|^2\\
|f(x,y)|&\leq&K(1+|y|^2),
\end{eqnarray*} -->

    <table cellpadding="0" align="center">
      <tr valign="middle">
        <td nowrap align="right">(<i>f</i> (<i>x</i>, <i>y</i>) -
        <i>f</i> (<i>x</i>, <i>y'</i>))(<i>y</i> - <i>y'</i>)</td>

        <td width="10" align="center" nowrap><img width="13"
        height="22" align="middle" border="0" src="img40.gif" alt=
        "$\displaystyle \leq$"></td>

        <td align="left" nowrap><img width="11" height="22" align=
        "middle" border="0" src="img39.gif" alt=
        "$\displaystyle \mu$">| <i>y</i> -
        <i>y'</i>|<sup>2</sup></td>

        <td width="10" align="right">&nbsp;</td>
      </tr>

      <tr valign="middle">
        <td nowrap align="right">| <i>f</i> (<i>x</i>,
        <i>y</i>)|</td>

        <td width="10" align="center" nowrap><img width="13"
        height="22" align="middle" border="0" src="img40.gif" alt=
        "$\displaystyle \leq$"></td>

        <td align="left" nowrap><i>K</i>(1 + |
        <i>y</i>|<sup>2</sup>),</td>

        <td width="10" align="right">&nbsp;</td>
      </tr>
    </table>
  </div><br clear="all">
  pour certains <img width="11" height="22" align="middle" border=
  "0" src="img42.gif" alt="$ \mu$">, <i>K</i> et tous les <i>x</i>,
  <i>y</i>, <i>y'</i>.

  <p>Enfin, <i>u</i><sub>0</sub> est supposée continue à croissance
  polynomiale à l'infini.</p>

  <p>On définit pour chaque <!-- MATH: $1 \leq i \leq k$ -->
  1 <img width="13" height="22" align="middle" border="0" src=
  "img37.gif" alt="$ \leq$"> <i>i</i> <img width="13" height="22"
  align="middle" border="0" src="img37.gif" alt="$ \leq$"> <i>k</i>
  et chaque <!-- MATH: $y \in \mathbb R$ -->
  <i>y</i> <img width="12" height="22" align="middle" border="0"
  src="img46.gif" alt="$ \in$"> <i>R</i> la solution de l'équation
  de Poisson sur <!-- MATH: $\mathbb T^d$ -->
  <i>T</i><sup>d</sup> : <!-- MATH: \begin{displaymath}
L\:\hat{b}_i(x)+b_i(x)=0,
\end{displaymath} --></p>

  <div align="center">
    <i>L</i>&nbsp;<img width="13" height="31" align="middle"
    border="0" src="img47.gif" alt=
    "$\displaystyle \hat{b}_{i}^{}$">(<i>x</i>) +
    <i>b</i><sub>i</sub>(<i>x</i>) = 0,
  </div><!-- MATH: \begin{displaymath}
L\:\hat{e}(x,y)+e(x,y)=0.
\end{displaymath} -->

  <div align="center">
    <i>L</i>&nbsp;<img width="9" height="12" align="bottom" border=
    "0" src="img48.gif" alt="$\displaystyle \hat{e}$">(<i>x</i>,
    <i>y</i>) + <i>e</i>(<i>x</i>, <i>y</i>) = 0.
  </div>

  <p>Sous des conditions supplémentaires assurant que la solution
  de l' <small>EDP</small> ci-dessus est unique et «coïncide avec
  la solution de l' <small>EDSR</small> correspondante», on a 
  <!-- MATH: $u_\varepsilon(t,x) \to u(t,x)$ -->
  <i>u</i><sub><img width="8" height="11" align="bottom" border="0"
  src="img49.gif" alt="$\scriptstyle \varepsilon$"></sub>(<i>t</i>,
  <i>x</i>)<img width="16" height="11" align="bottom" border="0"
  src="img50.gif" alt="$ \to$"><i>u</i>(<i>t</i>, <i>x</i>), où
  <i>u</i>est la solution de l' <small>EDP</small> semi-linéaire : 
  <!-- MATH: \begin{displaymath}
\left\{
\begin{array}{ll}
\displaystyle\frac{\partial u}{\partial
t}(t,x)&=\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\sum_{i,j}A_{ij}\displaystyle\frac{\partial^2}{\partial
x_i\partial x_j}(t,x)+\displaystyle\sum_{i=1}^d C_i(u(t,x))
\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x_i}(t,x)+ D(u(t,x)),\\
\hfill u(0,x)&=u_0(x),
\end{array}\right.

\end{displaymath} --></p>

  <div align="center">
    <img width="16" height="71" align="middle" border="0" src=
    "img51.gif" alt=
    "$\displaystyle \left\{\vphantom{ \begin{array}{ll} \displaystyle\frac{\partial u... ...}{\partial x_i}(t,x)+ D(u(t,x)),\ \hfill u(0,x)&amp;=u_0(x), \end{array}}\right.$"><img width="431"
    height="71" align="middle" border="0" src="img52.gif" alt=
    "$\displaystyle \begin{array}{ll} \displaystyle\frac{\partial u}{\partial t}(t,x)... ...artial u}{\partial x_i}(t,x)+ D(u(t,x)),\ \hfill u(0,x)&amp;=u_0(x), \end{array}$">
    <img width="6" height="71" align="middle" border="0" src=
    "img53.gif" alt=
    "$\displaystyle \left.\vphantom{ \begin{array}{ll} \displaystyle\frac{\partial u}... ...}{\partial x_i}(t,x)+ D(u(t,x)),\ \hfill u(0,x)&amp;=u_0(x), \end{array}}\right.$">
    </div>et :<br>

  <div align="center">
    <!-- MATH: \begin{eqnarray*}
A&=&\int_{\mathbb T^d}(I+\nabla \hat{b})a(I+\nabla\hat{b})^\ast(x) \mu(dx)\\
C(y)&=&\int_{\mathbb T^d}\left[(I+\nabla \hat{b})c+a\frac{\partial^2\hat{e}^\ast}{\partial x,\partial y}(\cdot,y))\right](x)\mu(dx)\\
D(y)&=&\int_{\mathbb T^d}[<\frac{\partial \hat{e}}{\partial
x}(\cdot,y),c>-\frac{\partial \hat{e}}{\partial
y}e(\cdot,y)+\frac{\partial^2\hat{e}}{\partial x \partial y}a
\frac{\partial \hat{e}^\ast}{\partial
x}(\cdot,y)+f(\cdot,y)](x)\mu(dx).
\end{eqnarray*} -->

    <table cellpadding="0" align="center">
      <tr valign="middle">
        <td nowrap align="right"><i>A</i></td>

        <td width="10" align="center" nowrap>=</td>

        <td align="left" nowrap><img width="23" height="41" align=
        "middle" border="0" src="img38.gif" alt=
        "$\displaystyle \int_{\mathbb T^d}^{}$">(<i>I</i> +
        <img width="14" height="12" align="bottom" border="0" src=
        "img23.gif" alt="$\displaystyle \nabla$"><img width="9"
        height="16" align="bottom" border="0" src="img54.gif" alt=
        "$\displaystyle \hat{b}$">)<i>a</i>(<i>I</i> + <img width=
        "14" height="12" align="bottom" border="0" src="img23.gif"
        alt="$\displaystyle \nabla$"><img width="9" height="16"
        align="bottom" border="0" src="img54.gif" alt=
        "$\displaystyle \hat{b}$">) <sup><tt>*</tt></sup>
        (<i>x</i>)<img width="11" height="22" align="middle"
        border="0" src="img39.gif" alt=
        "$\displaystyle \mu$">(<i>dx</i>)</td>

        <td width="10" align="right">&nbsp;</td>
      </tr>

      <tr valign="middle">
        <td nowrap align="right"><i>C</i>(<i>y</i>)</td>

        <td width="10" align="center" nowrap>=</td>

        <td align="left" nowrap><img width="23" height="41" align=
        "middle" border="0" src="img38.gif" alt=
        "$\displaystyle \int_{\mathbb T^d}^{}$"><img width="12"
        height="45" align="middle" border="0" src="img55.gif" alt=
        "$\displaystyle \left[\vphantom{(I+\nabla \hat{b})c+a\frac{\partial^2\hat{e}^\ast}{\partial x,\partial y}(\cdot,y))}\right.$">(<i>I</i>
        + <img width="14" height="12" align="bottom" border="0"
        src="img23.gif" alt="$\displaystyle \nabla$"><img width="9"
        height="16" align="bottom" border="0" src="img54.gif" alt=
        "$\displaystyle \hat{b}$">)<i>c</i> + <i>a</i><img width=
        "42" height="45" align="middle" border="0" src="img56.gif"
        alt=
        "$\displaystyle {\frac{\partial^2\hat{e}^\ast}{\partial x,\partial y}}$">(
        <sup>.</sup> , <i>y</i>))<img width="12" height="45" align=
        "middle" border="0" src="img57.gif" alt=
        "$\displaystyle \left.\vphantom{(I+\nabla \hat{b})c+a\frac{\partial^2\hat{e}^\ast}{\partial x,\partial y}(\cdot,y))}\right]$">(<i>x</i>)<img width="11"
        height="22" align="middle" border="0" src="img39.gif" alt=
        "$\displaystyle \mu$">(<i>dx</i>)</td>

        <td width="10" align="right">&nbsp;</td>
      </tr>

      <tr valign="middle">
        <td nowrap align="right"><i>D</i>(<i>y</i>)</td>

        <td width="10" align="center" nowrap>=</td>

        <td align="left" nowrap><img width="23" height="41" align=
        "middle" border="0" src="img38.gif" alt=
        "$\displaystyle \int_{\mathbb T^d}^{}$">[ &lt; <img width=
        "21" height="41" align="middle" border="0" src="img58.gif"
        alt=
        "$\displaystyle {\frac{\partial \hat{e}}{\partial x}}$">(
        <sup>.</sup> , <i>y</i>), <i>c</i> &gt; - <img width="21"
        height="41" align="middle" border="0" src="img59.gif" alt=
        "$\displaystyle {\frac{\partial \hat{e}}{\partial y}}$"><i>e</i>(
        <sup>.</sup> , <i>y</i>) + <img width="36" height="45"
        align="middle" border="0" src="img60.gif" alt=
        "$\displaystyle {\frac{\partial^2\hat{e}}{\partial x \partial y}}$">
        <i>a</i><img width="25" height="42" align="middle" border=
        "0" src="img61.gif" alt=
        "$\displaystyle {\frac{\partial \hat{e}^\ast}{\partial x}}$">(
        <sup>.</sup> , <i>y</i>) + <i>f</i> ( <sup>.</sup> ,
        <i>y</i>)](<i>x</i>)<img width="11" height="22" align=
        "middle" border="0" src="img39.gif" alt=
        "$\displaystyle \mu$">(<i>dx</i>).</td>

        <td width="10" align="right">&nbsp;</td>
      </tr>
    </table>
  </div><br clear="all">

  <h3><a name="SECTION00051400000000000000">Homogénéisation
  d'opérateurs paraboliques aléatoires</a></h3><br>
  <br>
  <b>Participant :</b> Fabien Campillo.<br>
  <br>

  <p><strong>Mots clés :</strong> <i>opérateurs paraboliques
  aléatoires, homogénéisation .</i></p>

  <p><em>Collaboration avec A. Piatnitski (Institut Lebedev,
  Moscou) et M. Kleptsina ( I<small>PPI</small>, Moscou).</em></p>

  <p><br></p>

  <p>On s'intéresse au comportement asymptotique ( 
  <!-- MATH: $\epsilon\downarrow0$ -->
  <img width="9" height="11" align="bottom" border="0" src=
  "img16.gif" alt="$ \epsilon$"> <img width="10" height="24" align=
  "middle" border="0" src="img62.gif" alt="$ \downarrow$"> 0) de la
  solution <!-- MATH: $u ^\epsilon$ -->
  <i>u</i><sup><img width="7" height="10" align="bottom" border="0"
  src="img19.gif" alt="$\scriptstyle \epsilon$"></sup> du problème
  de Cauchy dans <!-- MATH: $\mathbb R^n$ -->
  <i>R</i><sup>n</sup> suivant&nbsp;:</p>

  <div align="center">
    <!-- MATH: \begin{displaymath}
u ^{\epsilon}_t(t,x)
=
  \textstyle
  {\cal A}^\epsilon [u ^\epsilon(t,x)]
  +
  \frac{1}{\epsilon^{1\wedge\frac{\alpha}{2}}}
  \,
  c\left(\frac{x}{\epsilon},\xi_{\frac{t}{\epsilon^\alpha}}\right)
  \,u ^{\epsilon}(t,x)
  \,,\
  u ^{\epsilon}(0,x)
  =
  u_0(x)
  \,,\ t \in [0,T]

\end{displaymath} -->
    <img width="429" height="28" src="img68.gif" alt=
    "\begin{displaymath}u ^{\epsilon}_t(t,x) = \textstyle {\cal A}^\epsilon [u ^\e... ...}(t,x) \,, u ^{\epsilon}(0,x) = u_0(x) \,,\ t \in [0,T] \end{displaymath}">
  </div>avec <img width="12" height="11" align="bottom" border="0"
  src="img69.gif" alt="$ \alpha$"> &gt; 0 fixé, 
  <!-- MATH: ${\cal A}^\epsilon  h(x) = \mbox{{\rm div}} \left(a({\textstyle
\frac{x}{\epsilon}},y)\,\nabla  h(x)\right)$ -->
  <img width="169" height="28" align="middle" border="0" src=
  "img73.gif" alt=
  "${\cal A}^\epsilon h(x) = \mbox{{\rm div}} \left(a({\textstyle \frac{x}{\epsilon}},y)\,\nabla h(x)\right)$">

  <p>Les coefficients <i>a</i>(<i>z</i>, <i>y</i>)et
  <i>c</i>(<i>z</i>, <i>y</i>) sont <i>z</i>-périodiques sur le
  tore. <img width="13" height="24" align="middle" border="0" src=
  "img74.gif" alt="$ \xi_{t}^{}$"> est un processus de diffusion
  stationnaire ergodique, de générateur infinitésimal <img width=
  "12" height="12" align="bottom" border="0" src="img75.gif" alt=
  "${\cal L}$">, dont on suppose que la mesure invariante admet une
  unique densité régulière <img width="10" height="22" align=
  "middle" border="0" src="img76.gif" alt="$ \rho$">(<i>y</i>). Les
  opérateurs <!-- MATH: ${\cal A}^1$ -->
  <img width="19" height="14" align="bottom" border="0" src=
  "img77.gif" alt="${\cal A}^1$"> et <img width="12" height="12"
  align="bottom" border="0" src="img75.gif" alt="${\cal L}$"> sont
  supposés uniformément elliptiques.</p>

  <p>Pour <img width="12" height="11" align="bottom" border="0"
  src="img69.gif" alt="$ \alpha$"> &lt; 2 on obtient la convergence
  faible de la loi <!-- MATH: $u
^\epsilon(t,x)$ -->
  <i>u</i><sup><img width="7" height="10" align="bottom" border="0"
  src="img19.gif" alt="$\scriptstyle \epsilon$"></sup>(<i>t</i>,
  <i>x</i>) vers la loi limite non dégénérée solution d'un problème
  de martingale. En effet, la loi de <!-- MATH: $u ^\epsilon$ -->
  <i>u</i><sup><img width="7" height="10" align="bottom" border="0"
  src="img19.gif" alt="$\scriptstyle \epsilon$"></sup> converge
  vers la loi de la solution de l'équation aux dérivées partielles
  stochastique de la forme&nbsp;:</p>

  <div align="center">
    <!-- MATH: \begin{displaymath}
d\hat u(t,x)
=
  \Big[
   \mbox{{\rm div}}(\hat a\,\nabla \hat u(t,x)) + \hat c\, \hat u(t,x)
  \Big]\,dt
  +
  \lambda \,\hat u(t,x)\,d\hat W_t
\end{displaymath} -->
    <img width="314" height="28" src="img85.gif" alt=
    "\begin{displaymath}d\hat u(t,x) = \Big[ \mbox{{\rm div}}(\hat a\,\nabla \hat ... ...\, \hat u(t,x) \Big]\,dt + \lambda \,\hat u(t,x)\,d\hat W_t \end{displaymath}">
  </div>où <img width="20" height="30" align="middle" border="0"
  src="img86.gif" alt="$ \hat{W}_{t}^{}$"> est un mouvement
  Brownien standard dans <i>R</i> et avec des coefficients
  homogénéisés que l'on sait caractériser (pour plus de détail cf.
  <i>Campillo et al [<a href=
  "bibliographie.html#campillo98a">[19]</a>]</i>).

  <p>Pour <img width="12" height="11" align="bottom" border="0"
  src="img69.gif" alt="$ \alpha$"> = 2, on est dans le même cas de
  figure. La loi de <!-- MATH: $u ^\epsilon$ -->
  <i>u</i><sup><img width="7" height="10" align="bottom" border="0"
  src="img19.gif" alt="$\scriptstyle \epsilon$"></sup> converge
  vers la loi de la solution de l' <small>EDPS</small> : 
  <!-- MATH: \begin{displaymath}
d\hat u(t,x)
=
  \left[
    \mbox{{\rm div}}( \hat a\,\nabla \hat u(t,x))
    - \hat b \cdot \nabla \hat u(t,x)
    + \hat c\, \hat u(t,x)
  \right]\,dt
  +
  \lambda \,\hat u(t,x)\,d\hat W_t
  \,.
\end{displaymath} -->
  <img width="400" height="28" src="img89.gif" alt=
  "\begin{displaymath}d\hat u(t,x) = \left[ \mbox{{\rm div}}( \hat a\,\nabla \ha... ... u(t,x) \right]\,dt + \lambda \,\hat u(t,x)\,d\hat W_t \,. \end{displaymath}"></p>

  <p>Alors que pour <img width="12" height="11" align="bottom"
  border="0" src="img69.gif" alt="$ \alpha$"> &gt; 2, la loi limite
  est dégénérée, i.e. concentrée sur la solution d'un problème de
  Cauchy&nbsp;: la solution <!-- MATH: $u^\epsilon$ -->
  <i>u</i><sup><img width="7" height="10" align="bottom" border="0"
  src="img19.gif" alt="$\scriptstyle \epsilon$"></sup> converge en
  probabilité vers la solution de l' <small>EDP</small> : 
  <!-- MATH: \begin{displaymath}
\hat u_t(t,x)
=
  \mbox{{\rm div}}( \hat a\,\nabla \hat u(t,x))
  + \hat c\, \hat u(t,x)\,.
\end{displaymath} -->
  <img width="204" height="23" src="img91.gif" alt=
  "\begin{displaymath}\hat u_t(t,x) = \mbox{{\rm div}}( \hat a\,\nabla \hat u(t,x)) + \hat c\, \hat u(t,x)\,. \end{displaymath}"></p>

  <h3><a name="SECTION00051500000000000000">Approche
  multirésolution pour le calcul de coefficients
  effectifs</a></h3><br>
  <br>
  <b>Participants :</b> Frédéric Cérou, Arnaud Martin, Bruno
  Torrésani.<br>
  <br>

  <p><strong>Mots clés :</strong> <i>approximation multirésolution,
  calcul de coefficient effectifs .</i></p>

  <p>Nous avons débuté une étude liée à des problèmes posés par
  l'ingénierie des réservoirs pétroliers. La complexité du milieu,
  le sous-sol, qui est très hétérogène et irrégulier, rend très
  complexe sa modélisation, en vue de simulations numériques. De
  plus nous ne pouvons mesurer les propriétés du sous-sol que sur
  de petits échantillons, ce qui nous donne une connaissance très
  partielle du milieu. Des méthodes géostatistiques nous permettent
  d'établir un modèle aléatoire pour les caractéristiques du
  milieu. Nous regarderons plus particulièrement le comportement de
  la perméabilité. Ce modèle se construit notamment à partir de la
  loi de la perméabilité locale et des corrélations, estimées
  d'après les données empiriques. Mais les codes de calculs
  utilisés dans l'industrie ne permettent pas une discrétisation
  aussi fine, et il est alors nécessaire de définir des
  coefficients «équivalents» à une échelle plus grossière.</p>

  <p>Si les variations locales ne sont pas complètement erratiques,
  la théorie de l'homogénéisation établit, pour de larges classes
  de systèmes, que le comportement des coefficients hétérogènes à
  grande échelle est asymptotiquement celui d'un système du même
  type, à coefficients constants, appelés coefficients
  homogénéisés. C'est un problème typique de changement d'échelle
  (upscaling). L'analyse multirésolution permet d'approcher par des
  méthodes numériques les coefficients homogénéisés. Mieux, on
  obtient des coefficients, qualifiés d'équivalents, à toutes les
  échelles comprises entre la discrétisation la plus fine, et la
  plus grossière, où le coefficient se réduit à une seule valeur.
  Plus précisément, selon l'approche proposée par Beylkin [<a href=
  "bibliographie.html#beylkin98a">BC98</a>], on projette l'équation
  considérée, ici l'équation de Darcy, sur une base d'ondelettes à
  une échelle donnée, puis on cherche l'équation de la même forme
  satisfaite par la solution à l'échelle supérieure. Les
  coefficients de cette nouvelle équation donnent alors les
  coefficients équivalents à l'échelle supérieure.</p>

  <p>La difficulté consiste à trouver une base adaptée au problème
  pour garder toujours une équation du même type. Le problème reste
  ouvert pour la loi de Darcy en dimension plus grande que 1.</p>

  <p><br></p>
  <hr>
  <a name="tex2html183" href="resul.html"><img width="24" height=
  "24" align="bottom" border="4" alt="previous" src=
  "../icons/previous_motif.gif"></a> <a name="tex2html189" href=
  "resul.html"><img width="24" height="24" align="bottom" border=
  "4" alt="up" src="../icons/up_motif.gif"></a> <a name=
  "tex2html192" href="resul_analyse-sto.html"><img width="24"
  height="24" align="bottom" border="4" alt="next" src=
  "../icons/next_motif.gif"></a> <a name="tex2html191" href=
  "sysdys.html"><img width="24" height="24" align="bottom" border=
  "4" alt="contents" src="../icons/contents_motif.gif"></a><br>
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  "resul_analyse-sto.html">Analyse stochastique</a>

  <p><!--End of Navigation Panel--></p>
</body>
</html>
