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Section: Scientific Foundations

Algèbre linéaire max-plus/Basic max-plus algebra

Une bonne partie des résultats de l'algèbre max-plus concerne l'étude des systèmes d'équations linéaires. On peut distinguer trois familles d'équations, qui sont traitées par des techniques différentes : 1) Nous avons déjà évoqué dans les sections  3.2 et 3.3 le problème spectral max-plus $Ax=\lambda x$ et ses généralisations. Celui-ci apparaît en contrôle optimal déterministe et dans l'analyse des systèmes à événements discrets. 2) Le problème $Ax=b$ intervient en commande juste-à-temps (dans ce contexte, le vecteur $x$ représente les dates de démarrage des tâches initiales, $b$ représente certaines dates limites, et on se contente souvent de l'inégalité $Ax\le b$). Le problème $Ax=b$ est intimement lié au problème d'affectation optimale, et plus généralement au problème de transport optimal. Il se traite via la théorie des correspondances de Galois abstraites, ou théorie de la résiduation  [102] , [78] , [173] , [178] ,[6] . Les versions dimension infinie du problème $Ax=b$ sont reliées aux questions d'analyse convexe abstraite [170] , [163] , [61] et de dualité non convexe. 3) Le problème linéaire général $Ax=Bx$ conduit à des développements combinatoires intéressants (polyèdres max-plus, déterminants max-plus, symétrisation  [123] , [152] ,[6] ). Le sujet fait l'objet d'un intérêt récemment renouvelé  [98] .

English version

An important class of results in max-plus algebra concerns the study of max-plus linear equations. One can distinguish three families of equations, which are handled using different techniques: 1) We already mentioned in Sections  3.2 and 3.3 the max-plus spectral problem $Ax=\lambda x$ and its generalisations, which appears in deterministic optimal control and in performance analysis of discrete event systems. 2) The $Ax=b$ problem arises naturally in just in time problems (in this context, the vector $x$ represents the starting times of initial tasks, $b$ represents some deadlines, and one is often content with the inequality $Ax\le b$). The $Ax=b$ problem is intimately related with optimal assignment, and more generally, with optimal transportation problems. Its theory relies on abstract Galois correspondences, or residuation theory  [102] , [78] , [173] , [178] ,[6] . Infinite dimensional versions of the $Ax=b$ problem are related to questions of abstract convex analysis  [170] , [163] , [61] and nonconvex duality. 3) The general linear system $Ax=Bx$ leads to interesting combinatorial developments (max-plus polyedra, determinants, symmetrisation  [123] , [152] ,[6] ). The subject has attracted recently a new attention  [98] .